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급수 판정법 (3) - 비율 판정법

일반항의 두 항 사이의 비를 통해 급수의 수렴 여부를 어떻게 알 수 있을까?

 직관적으로 어떤 급수의 수열이 꾸준히 어떤 비율로 작아지면 수렴하고, 어떤 비율로 커지면 발산한다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 이러한 직관적인 사실을 수학적으로 어떻게 표현하는지 알아보자.

 비율 판정법이란 일반항이 양의 실수인 수열   과 0<r<1이 주어졌을 때,

(1) ∀n에 대해서,  인 경우,   는 수렴한다.

(2) ∀n에 대해서,   인 경우,   는 발산한다.

가 성립한다는 것이다. 이러한 성질을 이용해서, 일반항의 두 항 사이의 비율을 통해서 주어진 급수의 수렴 여부를 알 수 있다.

 [참고] 위에서 별도의 시작조건과 종료조건이 없는 시그마가 나오는데, 그것은 이다.

[1] 비율 판정법을 증명하시오.

(증명) (1)을 먼저 증명하자. 0<r<1이므로,

와 같은 대소관계가 성립한다. 여기서 와 같은 대소관계가 성립하는데, 주어진 급수보다 큰 급수가

와 같이 수렴한다. 이와 같이, (1)의 경우는   가 수렴함을 알 수 있다.

(2)의 경우에는

와 같은 대소관계가 성립한다. 여기서,   이므로 일반항 판정법에 의해, (2)의 경우는 가 발산함을 알 수 있다.

 이와 같이, 일반항의 두 항 사이의 비율에 따라서 급수의 수렴 여부에 대해 알아보았다. □

 이로써 비율 판정법의 정의와 그것에 대한 증명 방법을 알아보았다.

급수 판정법 (2) - 비교 판정법
일반항의 대소관계를 통해 급수의 수렴 여부를 어떻게 알 수 있을까?

함수의 극한

함수의 극한이란 무엇인가?

자연상수 e의 성질 (2) - e는 무리수

e는 무리수인가?

 자연상수 e는 π와 더불어 대표적인 무리수로 알려져있다. 그렇다면 왜 자연상수 e가 무리수인지 알아보자.

 자연상수 e가 무리수인지는 귀류법을 이용해서 증명할 수 있다.

[1] 자연상수 e가 무리수임을 증명하시오.

 (증명) 귀류법에 의해 증명하기 위해, 가 유리수라고 가정하자. 유리수의 정의에 의해, 어떤 자연수 p에 대하여, 자연상수 e와 자연수 p의 곱이 자연수가 된다. 그러한 p에 대하여,

와 같은 식을 구할 수 있다. 등식의 성질에 의해, 위 식의 (*1) 부분 역시 자연수가 되어야 한다. (*1) 부분은

와 같이 정리할 수 있다. 여기서 p는 자연수이므로 (1/p)는 1보다 작은 수인데, 자연수가 1보다 작다는 결론이 나왔으므로 모순이다. 자연상수 e가 유리수라고 가정했을 때, 모순되는 사실이 도출되므로, 자연상수 e는 무리수이다. □

 이로써, 자연상수 e가 무리수임을 증명하였다.

자연상수 e의 성질 (1) - e의 존재성

자연상수 e는 존재하는가?

 e는 극한값으로 정의된다. 산술적으로 e는 2.71828...로 알려져있지만, 그 값이 실제로 존재하는지에 대해서는 별도의 설명이 필요하다. e가 실제로 존재하는지, 존재한다면 어느 구간에 있는지 알아보자.

 자연상수 e가 존재하는지는 실수의 완비성을 이용해서 증명할 수 있다.

[1] 자연상수 e가 열린구간 (2, 3)에 존재함을 증명하시오.

 (증명) 수열  이

일 때,  위로 경계가 있는 증가수열임을 보이자. 주어진 식은

 (*1)

와 같이 정리할 수 있다.  수열   은 3보다 항상 큼을 알 수 있다.  이 식에서,

와 같은 대소관계를 이끌어 낼 수 있다. 위 식을 통해, 수열   은 2보다 항상 작음을 알 수 있다. (여기서, e가 열린구간 (2,3)에 존재함을 알 수 있다.) 위 수열이 증가하는 이유는 (*1)을 관찰하면 알 수 있다. 여기서, n이 증가할 때, 더하는 항의 수도 증가하며, 아래식과 같은 대소 관계로부터,

각 항의 값 자체도 증가한다는 것을 알 수 있다. 이로써, 수열 이 증가하는 수열임을 알 수 있다.

 이로써, 수열 이 3보다 항상 작으므로, 3을 윗경계로 하며, 위로 경계가 있는 수열이며, 증가하는 수열임을 알 수 있다. 실수의 완비성에 의해서,

가 극한값을 가진다. □

 이로써, 자연상수 e의 극한값이 존재하며, 그 값이 2와 3사이에 있음을 증명하였다.

경계의 개념 (3) - 경계 있음 (집합)

경계 있음 / 위로 경계 있음 / 아래로 경계 있음 / 윗경계 / 아랫경계 

[유계 / 위로 유계 / 아래로 유계 / 상계 / 하계]

어떤 집합이 경계가 있다는 것은 어떤 뜻인가?

 수열과 마찬가지로 어떤 집합에서 어떤 원소가 다른 모든 원소보다 크거나, 어떤 원소가 다른 모든 원소보다 작은 경우가 있다. 집합의 경우에도 수열의 경우로 '경계'의 개념이 있다. 이와 관련하여 집합의 '경계'의 개념에 대해 알아보자.

 집합 A는 실수체^[각주:1]의 부분집합이다.

 집합 A가 주어졌을 때, 위로 경계가 있다(upper bounded)는 것은

, 

와 같은 실수 M이 존재한다는 것이다. 이 때, 실수 M을 집합 A의 윗경계(upper bounded)라고 한다.

 집합 A가 주어졌을 때, 아래로 경계가 있다(lower bounded)는 것은

, 

와 같은 실수 m이 존재한다는 것이다. 이 때, 실수 m을 집합 A의 아랫경계(lower bounded)라고 한다.

 [참고] '경계 있음'은 '유계(有界)'로 표현하기도 한다. '위로 경계 있음'과 '아래로 경계 있음'은 각각 '위로 유계이다', '아래로 유계이다'라고 표현하기도 한다. 한편, '윗경계'는 '상계(上界)', '아랫경계'는 '하계(下界)'로 표현하기도 한다.

 (이 사항은 '수열'에서의 '경계 있음'의 경우와 마찬가지이다.)

 이로써, 집합에서 '경계 있음'과 관련된 용어에 대해 알아보았다.

경계의 개념 (2) - 경계 있음 (수열)

경계 있음 / 위로 경계 있음 / 아래로 경계 있음 / 윗경계 / 아랫경계

[유계 / 위로 유계 / 아래로 유계 / 상계 / 하계]

어떤 수열이 경계가 있다는 것은 어떤 뜻인가?

 어떤 수열이 계속 증가하거나 감소할 때, 어느 이상으로 증가하거나 감소하지 않는 경우가 있다. 이러한 수열에 대해서 '경계'의 개념을 통해서 설명할 수 있다. 이와 관련하여 수열의 '경계'의 개념에 대해 알아보자.

 실수열 이 주어졌을 때, 위로 경계가 있다(upper bounded)는 것은 ∀n에 대하여,

이 성립하는 어떤 실수 M이 존재한다는 것이다. 이 때, 실수 M을 수열 의 윗경계(upper bound)라고 한다.

 실수열 이 주어졌을 때, 아래로 경계가 있다(lower bounded)는 것은 ∀n에 대하여,

이 성립하는 어떤 실수 m이 존재한다는 것이다. 이 때, 실수 m을 수열 의 아랫경계(lower bound)라고 한다.

 [참고] '경계 있음'은 '유계(有界)'로 표현하기도 한다. '위로 경계 있음'과 '아래로 경계 있음'은 각각 '위로 유계이다', '아래로 유계이다'라고 표현하기도 한다. 한편, '윗경계'는 '상계(上界)', '아랫경계'는 '하계(下界)'로 표현하기도 한다.

 이로써, 수열에서 '경계 있음'과 관련된 용어에 대해 알아보았다.

급수 판정법 (1) - 일반항 판정법
일반항의 양상이 급수의 수렴 여부에 어떤 영향을 미칠까?