조화급수의 정의와 발산

조화급수의 정의와 성질
조화급수란 무엇이며 어떤 성질이 있을까?

 '급수'는 어떤 수열의 초항부터 무한번째 항까지를 더한 것을 말한다. 조화급수는 조화수열에 대한 (무한)급수인데, 조화수열 그 자체는 수렴하지만 조화급수는 발산한다는 점에서 급수의 수렴성과 관련된 반례로 종종 활용된다. 다만, 직관적으로 조화급수가 발산하는지 이해가 쉽지가 않다. 조화급수가 무엇이며, 조화급수가 발산하는 이유에 대해 알아보자.

 

 조화급수란 조화수열의 초항부터 무한번재항까지 항을 차례로 합의 기호 '+'로 연결한 식을 말한다. 조화급수의 대표적인 성질은 조화수열은 수렴함에 도 불구하고, 조화급수는 발산한다는 것이다. 이 성질은 다음과 같이 증명할 수 있다. 가장 간단한 조화급수가 발산함을 증명해보자.

 

[1] 이 발산함을 증명하시오.

 

 (증명) 주어진 급수는

와 같이 나타낼 수 있다. 위와 같이 표현함을 통해서, 주어진 급수는 무수히 많은 (1/2)의 합으로 나타낼 수 있다. 이를 통해서, 주어진 급수가 발산함을 알 수 있다. □

 

 위의 내용을 분모가 (a+n)인 경우로 확장하자.

[2] 이 발산함을 증명하시오.

 

 (증명) 주어진 식은 a>0인 경우만 의미가 있다. a≤0인 경우, 분모가 0이 되는 경우가 존재하기 때문이다.

 

 귀류법에 의해 증명하기 위해, 주어진 이 수렴한다고 가정하자. 다음과 같이

 

 

로 표현할 수 있다. 이를 정리하면, 

 

 

이 되어 좌변은 발산하고, 우변은 수렴하기 때문에 모순이 나타난다.

 

 주어진 급수가 수렴한다고 가정했을 때, 모순이 생기므로 주어진 급수는 발산함을 알 수 있다. □

 

 위의 내용을 분모가 (a+nd)인 경우로 확장하자.

 

[3] 이 발산함을 증명하시오.

 

(증명) 주어진 식은 a≠-dk인 경우(단, d는 자연수)만 의미가 있다. a=-dk인 경우, 분모가 0인 경우가 존재하기 때문이다.

 

귀류법에 의해 증명하기 위해, 주어진 이 수렴한다고 가정하자. 다음과 같이

 

 

로 표현할 수 있다.

 

 여기서, 모든 n에 대해서 a+nd>0인 경우, 라고 하면, 를 만족하는 ∃m이 존재한다. 다음 급수

 

 

는 발산한다. 비교판정법에 의해

 

 

도 발산한다.

 

 어떤 n에 대해서 a+nd<0인 경우, a+nd>0인 ∃n이 존재한다. 이 경우, 주어진 급수는

 

 

이 되어 발산한다. □

 

 이로써, 조화급수의 정의와 대표적인 성질인 모든 조화수열이 발산한다는 성질을 증명하였다.