급수 판정법 (1) - 일반항 판정법

급수 판정법 (1) - 일반항 판정법
일반항의 양상이 급수의 수렴 여부에 어떤 영향을 미칠까?

 어떤 무한급수가 수렴하는지는 다양한 방법으로 판단할 수 있다. 그 중 그 급수의 일반항이 수렴하는지 여부를 확인하는 것이다. 그 일반항이 수렴하지 않는다면, 그 급수는 당연히 수렴하지 않을 것이다. 다만, 여기서 유의할 것은 역은 성립하지 않는다는 것이다. 이와 같은 사실이 '일반항 판정법'인데, 일반항 판정법에 대하여 알아보자.

 

 일반항 판정법이란 이 수렴할 때, 가 성립한다는 것이다. 이는 일반적인 급수가 수렴하는 경우에, 그것의 일반항은 반드시 0에 수렴한다는 것을 의미한다. 이러한 성질을 이용해서, 어떤 수열의 일반항이 0에 수렴하지 않는다면, 그 수열의 급수는 발산한다는 것을 알 수 있다.

 

 [1] 일반항 판정법을 증명하시오. 아울러, 그 역이 성립하는지도 알아보시오.

 

 (증명) 주어진 급수가 수렴한다면, 수렴하는 값이 존재하므로,

 

,

 

와 같다. 일반항은 두 급수의 차이로 나타낼 수 있으므로,

 

 

와 같다. 이로 부터, 일반항의 극한값이 0에 수렴함을 알 수있다.

 

 일반항 판정법의 역, 라고 해서, 는 수렴하지 않을 수 있다는 것이다. 이에 대한 대표적인 반례는 조화급수로, 일반항은 수렴하지만 그것의 급수는 수렴하지 않는다. (이와 관련된 증명은 '조화급수의 정의와 발산'에서 증명하였다.)

 

 이와 같이, 일반항 판정법을 증명하고, 그 역은 성립하지 않음을 증명하였다. □

 

 이로써 일반항판정법의 정의와 그것의 역이 성립하지 않는 사례에 대해 알아보았다.