거듭제곱 급수의 정의 (멱급수의 정의)

거듭제곱 급수의 정의 (멱급수의 정의) power series
거듭제곱 급수란 무엇인가?

 거듭제곱 급수(멱급수)란 일반적으로 실수 x와 수열 에 관하여,

 

 

와 같이 정의되는 수열을 말한다. 위 식에서 실수 x를 거듭제곱 급수의 밑이라고 하며, 위 식과 같이 밑이 x인 경우보다

 

 

와 같이, 밑이 (x-c)인 경우가 일반적인 식이다. 거듭제곱 급수의 밑은 거듭제곱 급수의 식에서 그것의 값을 정하는 변수의 역할을 한다. 여기서 실수 c를 거듭제곱 급수의 중심이라고 한다. 거듭제곱 급수의 밑이 중심과 같은 경우에 항상 수렴하므로, 거듭제곱 급수의 중심은 중심은 주어진 거듭제곱 급수가 언제 수렴하는지 알려주는 역할을 한다. 한편, 수열 은 거듭제곱 급수의 계수이다. 거듭제곱 급수의 계수는 거듭제곱 급수의 밑과 더불어 거듭제곱 급수의 값을 정하는 역할을 한다. (단, 이 글은 위의 식의 정의에 맞추어 서술하였다.)

 

 [참고] 거듭제곱 급수는 일반적으로 '멱급수(冪級數)'라고도 한다. 여기서, 멱(冪)이란 영어 표현에서 '거듭제곱'을 의미하는 'power'를 한자로 표기한 것이다.

 

 거듭제곱 급수의 밑에 실수 x를 대입하면, 거듭제곱 급수는 일종의 실수의 급수이다. 실수의 급수가 수렴하면 실수 집합의 함수로 볼 수 있는데, 거듭제곱 급수 역시 수렴하면 일종의 실수 집합의 함수로 볼 수 있다. 한편, 거듭제곱 급수의 계수가 실수이면 주어진 식은 일종의 항의 개수가 무수히 많은 다항식으로 볼 수도 있다.

 

 거듭제곱 급수를 실수 집합의 함수로 본다면, 수열 의 값에 관계 없이, 항상 그 그래프는 (0, a_0)을 지난다는 것을 알 수 있다. 이는 다시 말해서, 거듭제곱 급수는 x=0에서

 

 

 

와 같이 수렴한다는 것을 의미한다. 여기서, 은 거듭제곱 급수를 일종의 다항식으로 본다면, 상수항을 의미한다. 한편, 거듭제곱 급수에서 그것의 모든 계수가 1인 경우()는 일반적인 등비급수의 형태를 띤다. 즉, 등비급수는 거듭제곱 급수의 특수한 형태로 볼 수 있다.

 

 어떤 두 거듭제곱 급수가 서로 같다는 것(상등, )은, ∀n에 대하여, 이 성립한다는 것을 말한다.

 

 이와 같이, 거듭제곱 급수의 정의와 그에 대해 해석하는 방법, 그리고 두 거듭제곱 급수가 서로 같다는 것의 정의에 대하여 알아보았다.