조화평균의 정의, 조화수열의 정의

조화평균의 정의 harmonic mean, 조화수열의 정의 harmonic progression

조화평균이란 무엇이며, 조화수열이란 무엇인가?

 우리 일상생활에서 '평균'이라는 개념이 자주 사용된다. 평균에는 산술평균, 기하평균, 조화평균과 같이 다양한 평균이 있다. 실생활에서는 산술평균을 자주 사용하지만, 문제 상황에 따라서 그 역수의 조화평균을 사용하는 경우도 있다. 산술평균과 밀접한 연관이 있는 등차수열에 대해서, 양의 등차수열의 역수를 취해서 정의하는 조화수열도 사용된다. 조화평균과 조화수열에 관하여 알아보자.

 

<조화평균>

 조화평균(harmonic mean , 調和平均)이란 n개의 양수가 주어졌을 때, 그 양수의 역수의 산술평균의 역수를 말한다. 2개인 경우는

와 같다. 일반적인 n개인 경우는

와 같다.

 

<조화수열>

 조화수열(harmonic progression, 調和數列)이란 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열을 말한다. 이에 대한 대표적인 예는

 

 

이다. 위 수열의 각 항의 역수는

 

 

와 같이, 등차수열을 이루기 때문에, 조화수열이다.

 

 위에 제시한 수열 자체가 조화수열의 정의이며, 유일한 예로 아는 경우가 있지만, 위에 제시한 수열은 조화수열의 한 가지 예에 불과하다. 한편, 조화수열을 정의하는 데에 있어서, 필요에 따라 '양수'로 한정하는 경우도 있다.

 

 조화평균에서 '조화(harmonic)'라는 수식어가 붙은 이유는 음악에서 음정의 값을 현의 길이로 나타낼 때, 그 값을 조화수열로 맞추면 가장 조화로운 음이 탄생하기 때문이다.

 

 이로써 조화평균과 조화수열의 정의를 알아보았다. 조화평균의 경우는 산술평균이나 기하평균과의 관계를 이해하는 데에 필요한 개념이고, 조화수열은 수열의 수렴과 발산과 관련해서, 그 수열 자체와 그 수열의 합이 그 예제로 자주 사용되기 때문에 중요한 수열이다.