지수함수/로그함수의 극한 (2) - e의 정의를 통해 구하기

지수함수/로그함수의 극한 (2) - e의 정의를 통해 구하기

e의 정의를 이용해서 지수함수와 로그함수의 극한을 어떻게 구할 수 있을까?

 sine곡선은 x=0 주변에서 y=x와 차이가 작다는 것에서, 두 함수의 비율에는 어떤 관계가 있는지 알아봄으로써 극한값을 구하였다. 지수함수와 로그함수도 이와 비슷한 원리로 구할 수 있지 않을까? 이를 위해서는 e의 정의를 이용하여 구할 수 있다.

<e의 정의>

 자연상수 e는

와 같이 정의된다. 위의 정의에 따라 구하면, e=2.71828...임이 알려져있다. 위의 식에서, x의 역수를 적용하면,

와 같이 구할 수 있다.

 x=0의 주위에서, y=sin(x)와 y=x의 값이 같다는 사실에서, 이들 함수의 극한값에 어떤 관계가 있는지 알아보았다. 이와 마찬가지로. x=0 주위에서, y=ln(1+x)와 y=x의 값 역시 x=0에서 같은데, 이들 함수의 극한값에도 어떤 관계가 있는지 알아보자.

<밑이 e인 경우>

 지수함수와 로그함수는 e의 정의를 적용하기 위해서, 밑이 e인 경우를 먼저 고려하자. 지수함수인 경우는

와 같이 구할 수 있다. 로그함수인 경우는 로 두면, 이 되어

와 같이 구할 수 있다.

<밑이 a인 경우>

 지수함수와 로그함수는 밑이 일반적인 a인 경우는 앞서 구한 것과 같은 원리로 구할 수 있다. 지수함수인 경우는

와 같이 구할 수 있다. 로그함수의 경우는 로 두면, 이 되어

와 같이 구할 수 있다.

 이와 같이, e의 정의를 이용해서 지수함수와 로그함수의 극한값을 구할 수 있다.