삼각함수의 극한 (2) - 일반적인 삼각함수의 극한

삼각함수의 극한 (2) - 일반적인 삼각함수의 극한
일반적인 삼각함수의 극한을 어떻게 구할까?

 sine함수의 극한을 구하는 방법을 응용하면 tangent함수나 cosine함수에 대해서도 확장할 수 있다. 일반적인 삼각함수의 극한을 구하는 과정을 알아보자.

 

 다음과 같은 식

 

 

의 값이 1이라는 사실을 기하학적으로 증명하였다.

 

[참고] 삼각함수의 극한 (1) - sine함수의 극한

 

 위 식의 값이 1이라는 사실을 이용하여, 위 식의 역수의 값이 1이라는 사실이 성립함을

 

 

와 같이 증명할 수 있다.

 

 위 식의 값이 1이라는 사실을 이용하여, tangent함수에 대해서도 다음과 같은 사실이 성립함을

 

 

와 같이 증명할 수 있다.

 

 위 식의 역수도 1이라는 사실을 이용하여, 위 식의 역수의 값이 1이라는 사실이 성립함을

 

 

와 같이 증명할 수 있다.

 

cosine함수의 값은 x가 0으로 다가갈 때, 1이 되므로 sine함수와 tangent함수하고는 다른 양상이 나타난다. cosine함수의 경우는 (1-cos(x))의 값이, x가 0으로 다가갈 때, 1이 된다는 사실을 통해서 cosine함수에 대해서 다음과 같은 사실이 성립함을

 

 

와 같이 증명할 수 있다. (위 식도 sine함수와 tangent함수와 같은 원리로 역수인 경우도 성립한다.)

 

 삼각함수의 극한의 값을 위와 같은 원리로 구할 때, 다항함수의 차수(위의 경우 'x'의 차수)에 유의해야 한다. 위의 원리를 이용한다면, sine함수와 tangent함수의 경우는 차수가 1인 반면, cosine함수인 경우는 차수가 2이기 때문이다.

 

 이와 같이, sine함수의 극한의 기본적인 모양을 이용하여, sine함수, cosine함수와 tangent함수의 값을 구할 수 있다. 다만, 값을 구하는 과정에서 삼각함수에 따라서, 그에 상응하는 다항함수의 차수가 다르다는 점을 유념해야 한다.