삼각함수의 극한 (1) - sine함수의 극한

삼각함수의 극한 (1) - sine함수의 극한

x=0 주위에서의 sine함수의 극한값은 어떤 양상일까?

 sine함수는 연속함수이기 때문에, 어떤 값에서의 sine함수의 극한값은 함숫값과 일치해서 무난하게 구할 수 있다. 다만, sine함수와 tangent함수, y=x함수를 x=0 주변에서 그려보면, 상당히 일치한다는 데에서, 이들 사이에 어떤 관계가 있지 않을까 하는 생각을 하게 된다. 과연 이들 함수는 x=0주변에서 어떤 관계가 있을까?

 다음과 같이, x=0에서 함수 y=sin(x), 함수 y=tan(x), 함수 y=x의 그래프를 같이 그리면, x=0에서 이들 값은 일치한다. 왼쪽 그림은 [-π/2,π/2]에서 함수의 그래프를, 오른쪽 그림은 [-π/8,π/8]에서의 그래프를 그린 것으로, 확대할수록 사실상 일치하는 그래프가 된다는 것을 알 수 있다.

 

[-π/2,π/2]에서의 그래프[-π/8,π/8]에서의 그래프

 이들 함수는 모두 원점을 지나기 때문에, x=0에서 함숫값은 일치한다. 함숫값만 일치하는 것이 아니라, x=0에 가까워지면 이들 극한값은 거의 같아져서, 같은 것으로 간주해도 될 정도가 되지 않을까 하는 생각이든다.

 위 추정은 다음과 같이 증명할 수 있다.

[1] 극한값 을 구하시오.

 (증명) 위 함수의 극한값은 삼각형과 부채꼴의 넓이 관계로 증명할 수 있다. 기하학적인 증명에서는 x>0인 경우부터 증명하는 것이 편하므로, 그 경우부터 다음과 같이 증명하자.

 위 그림에서 다음과 같은

넓이 관계가 성립한다. 위 넓이를 x와 r로 나타내고 정리하면,

와 같다. x>0에서, 이므로,

이고, 이에 역수를 취하면,

 

이 성립한다. 이면 이므로, 

와 같이, 극한값을 구할 수 있다. x가 0보다 큰 경우의 우극한값을 구하였다.

 x<0인 경우는

로 두고, 다음과 같이 정리하면, 

x<0인 경우도 성립함을 알 수 있다. x가 0보다 작은 경우의 좌극한값을 구하였다.

 우극한값과 좌극한값이 같으므로, 주어진 식의 극한값은 존재하고, 그 값은 1이다. □

 이로써, x=0 주변에서 sine함수와 y=x함수는 거의 일치한다는 것을 보였다. 이러한 관계는 삼각함수의 여러 극한값의 근간이 되는 중요한 관계식이다.