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역함수 정리 (역함수의 미분법)

역함수의 도함수는 어떻게 구할까?

 어떤 함수가 일대일 대응 함수라면 그 함수는 역함수를 가지게 된다. 어떤 함수가 역함수를 가진다면, 역함수의 도함수와 원래 함수의 도함수 사이에는 일정한 관계가 가지고, 그 관계를 알면 역함수의 도함수를 쉽게 구할 수 있다. 그와 관련된 역함수 정리에 대해 알아보자.

 역함수 정리란 x에 관한 함수 f가 미분가능하고 정의역의 임의의 x에 대하여 f'(x)≠0이 성립한다면,

(1) y=f(x)의 역함수로

를 가지고, 이 역함수 역시 미분가능하다.

 (미분가능한 함수의 그래프는 매끄러운 개형으로 나타낼 수 있다. 함수 f의 그래프와 역함수의 그래프는 y=x에 대하여 대칭이다. 함수 f의 그래프가 미분가능하므로 매끄러운 개형을 가지므로, 그와 대칭인 역함수의 그래프도 매끄러운 개형을 가진다. 역함수 역시 매끄러운 개형을 가지므로 역함수 역시 미분가능하다.)

(2) 함수 f와 그 역함수 사이에는

와 같은 관계가 있다.

가 성립한다는 것이다. 역함수 정리는 함수 f의 도함수와 역함수의 도함수에 어떤 관계가 있으며, 그 관계를 통해서 역함수의 도함수를 구할 수 있다는 것을 의미한다.

 역함수 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 [1] 역함수 정리를 증명하시오.

 (증명 1) f'(x)≠0으로부터 함수 f는 정의역 전체에서 항상 f'(x)>0이거나 항상 f'(x)<0이다. 정의역에서 f'(x)<0인 x와 f'(x)>0인 x가 동시에 존재하면 다르부의 정리(도함수에 관한 중간값 정리)에 의해 정의역에 f'(x)=0인 x가 존재하기 때문이다.

 일반성을 잃지 않고, f'(x)>0인 경우부터 생각해 보자. f'(x)>0이면 함수 f(x)는 순증가함수이므로, 역함수가 존재한다. 함수 f(x)의 정의역의 원소 x_1에 대하여, y_1=f(x_1)이 성립하므로,

와 같이 구할 수 있다.

 (증명 2) 함수 f의 역함수를 함수 g라고 하면,

, 

를 만족한다. 위 관계식을 y, x에 대하여 합성함수의 미분법을 적용하면,

, 

와 같다. f'(x)≠0이므로, g'(y)≠0가 성립하여,

, 

가 성립한다.

 이로써 역함수 정리가 성립함을 증명하였다. □

 이로써 역함수 정리란 무엇이며, 역함수 정리를 어떻게 증명하는지를 알아보았다.

다르부의 정리 [해석학] Darboux's theorem

다르부의 정리란 무엇인가?

 일반적으로 함수 f가 미분가능하더라도, 그것의 도함수가 미분가능하다는 보장도, 연속이라는 보장도 없다. 그렇기 때문에, 주어진 함수의 도함수에 중간값 정리를 항상 적용할 수 있는지가 한 가지 문제이다. 이러한 문제를 해결해 주는 것이 다르부의 정리인데, 다르부의 정리에 대해 알아보자.

 다르부의 정리(Darboux's theorem)란 함수 f가 정의역을 열린구간 (a, b), 치역을 실수 전체 집합 R로 가지며, k가 f'(a)와 f'(b) 사이의 값이면,

를 만족하는 c가 닫힌구간에 존재한다는 것이다. 다르부의 정리는 일반적으로 주어진 구간에서 미분가능한 함수의 도함수에 대해서도 중간값 정리를 적용할 수 있다는 것을 의미한다.

 다르부의 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 [1] 다르부의 정리를 증명하시오. 

 (증명) k=f'(a)이면 c=a로, k=f'(b)이면 c=b로 각각 존재한다. 그 외의 경우는 일반성을 잃지 않고, f'(a)<k<f'(b)로 둘 수 있다. 함수 를 정의역을 열린구간 (a, b), 치역을 실수 전체 집합 R로 가지며,

와 같은 함수로 정의하자.

 함수 는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이므로, 최대·최소 정리에 의해서 닫힌구간 [a, b]에서 최댓값이 되는 x의 값 M이 존재한다. 함수 의 도함수는

이다. 여기서,

 (k>f'(a))

 (k<f'(b))

가 성립한다. 페르마의 정리에 의해서, 함수 는 x=a, x=b에서 극값을 가지지 않으므로, M≠a이고 M≠b가 성립한다. 이고, x=M에서 함수 는 극값을 가지므로, 페르마의 정리에 의해, 이다. 여기서, c=M으로 구하고자 하는 c값이 존재한다.

 이상으로, 모든 경우에 대하여 다르부의 정리가 성립함을 증명하였다. □

 이로써 다르부의 정리가 무엇이며, 어떻게 증명하는지 알아보았다. 다르부의 정리를 통해 일반적으로 도함수가 연속임이 보장이 되지 않는 상황에서도, 도함수에 중간값 정리를 적용할 수 있다는 것을 설명할 수 있다.

이상적분 (2) - 적분구간에 불연속점이 있는 경우

이상적분 (1) - 적분구간이 무한히 긴 경우

함수의 속성 (1) - 일대일 / 대응 / 일대일 대응

[전사/단사/전단사]

함수의 속성 중에서 일대일/대응과 관련된 개념에 대해 알아보자.

 수학자 칸토어는 무한의 크기를 비교하는 과정에서 두 무한집합의 원소를 대응시키는 방법을 통해서 비교하였다. 이와 같이, 두 집합의 원소를 대응하는 양상이 어떤 것인지, 정의역의 원소가 치역의 원소에 일대일로 연결이 되는지는 함수를 이해하는 데에 대단히 중요하다.

 <일대일>

 어떤 함수가 일대일(one-to-one, injective)이라는 것은 그 함수의 공역의 모든 원소에 대응하는 정의역의 원소가 하나 이하라는 것이다. 어떤 함수가 일대일이라는 속성을 가지면 주어진 원소 사이에

와 같은 관계가 성립한다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다.

<대응>

 어떤 함수가 대응(correspondence, surjective)이라는 것은 그 함수의 모든 공역의 원소 중에서 정의역에 대응되지 않는 원소가 없다는 것이다. 어떤 함수가 대응이라는 속성을 가지면 공역과 치역이 같다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다.

<일대일 대응>

 어떤 함수가 일대일 대응(one-to-one correspondence, bijective)이라는 것은 그 함수가 일대일이라는 속성과 대응이라는 속성을 동시에 만족시키는 것이다. 즉, 그 함수의 모든 공역의 원소에 대응하는 원소가 하나씩만 존재한다는 것이다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다. 일대일 대응이라는 속성을 가지는 함수의 대표적인 성질은 역함수를 가진다는 것이다.

 [참고] 어떤 함수가 '일대일'의 속성을 가지면 '단사(單射)', '대응'의 속성을 가지면 '전사(全射)', '일대일'의 속성과 '대응'의 속성을 동시에 가지면 '전단사(全單射)'라고 표현하기도 한다.

<수평선 검사>

 수평선 검사(Horizontal Line test)란 주어진 함수가 일대일 대응인지 확인하는 방법으로, 함수 f가 x에 관한 y의 함수라면 x축과 수평선을 그었을 때, 2번 이상 교차하는 수평선이 존재하지 않는다면 주어진 함수가 일대일 대응으로 판단하는 검사 방법이다. 다음과 같이,

y=x 단위원

두 가지 예를 살펴보자. y=x인 경우에는 어떤 수평선을 긋더라도 교점이 하나 이상 나타나지 않지만, 단위원의 경우에는 열린구간 (-1, 1)에서 수평선을 그을 경우 교점이 2개 나타난다. 이와 같이, 주어진 함수의 그래프에 수평선을 긋는 것을 통해서 주어진 함수가 일대일 대응인지 판단할 수 있다. 주어진 함수가 역함수를 가지기 위해서는 일대일 대응이어야 하는지 확인해야 하는데, 이러한 수평선 검사 방법은 해당 함수가 역함수를 가지는지 판단할 때, 큰 도움이 된다.

 이로써 함수의 대표적인 속성인 일대일과 대응에 관함 개념을 알아보았고, 이와 더불어 주어진 함수가 일대일 대응인지 알아보는 수평선 검사 방법을 알아보았다.

함수의 정의 function

정의역 / 치역 / 공역

함수란 무엇인가?

 함수를 '마법 상자'로 설명하는 경우가 있다. 함수라는 마법상자에 x라는 어떤 수를 넣을 경우에, 그에 상응하는 어떤 값이 나오기 때문에, 함수를 마법상자로 설명하는 것이다. 함수에 대해 자세히 알아보자.

<함수의 정의>

 함수란 두 변수 x, y에 대하여, x의 값이 정해지면 y의 값이 정해지는 관계를 말한다. 일반적으로 함수 f가 x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지는 관계에 있으면,

와 같이 표현한다.

<정의역/공역/치역>

 함수 f는 x의 값이 정해지면 y의 값을 정하는 관계에 있다고 하자.

 정의역(domain)이란 주어진 함수 f의 x의 값의 집합, 공역(codomain)은 주어진 함수의 y의 값의 집합이고 치역(range)은 주어진 함수의 함숫값 전체의 집합이다. 일반적으로

와 같이 표현한다. 위의 그림에서 함수 f는 x를 f(x)로 이은 선, 정의역은 집합 X, 공역은 집합 Y, 치역은 노란색 음영의 영역으로 표시되어 있다.

 치역은

와 같이 표현된다. 치역의 정의에 의해, 치역은 항상 공역의 부분집합이다.

 정의역이 X이고 공역이 Y인 함수는

와 같이 표현한다.

<함수가 정해지지 않는 경우>

 함수 f가 정의되지 않는 경우는 x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지는 관계를 나타내는데, x의 값이 정해져도 y의 값이 정해지지 않는 경우이다. x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지기 위해서는 정의역에 포함된 모든 x의 값에 대해서 y의 값이 1개씩 존재하는 경우이다. 그런데 정의역에 있는 어떤 x의 값에 대해서 y의 값이 1개로 정해지지 않는 경우[아예 없는 경우(0개)나 2개 이상인 경우]는 함수가 정의되지 않는다.

 이로써 함수의 정의, 정의역, 공역, 치역, 공역과 치역의 개념과 더불어 함수가 정의되지 않는 경우에 대해 알아보았다.

임계값 critical number (미적분학)
미적분학에서의 임계값이란 무엇인가?

롤의 정리 Rolle's Theorem

롤의 정리란 무엇인가?

 미분가능한 함수에는 어떤 성질이 있을까? 그 중 대표적인 성질 중 하나가 같은 함숫값을 가지는 두 지점이 존재하면, 그 사이에 미분계수가 0이 되는 지점이 존재한다는 것이다. 이러한 성질이 롤의 정리인데, 롤의 정리가 무엇이며 어떻게 증명하는지 알아보자.

 롤의 정리(Rolle's Theorem)란 함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속, 열린구간 (a, b)에서 미분가능하고 f(a)=f(b)이면,

을 만족하는 c가 열린구간 (a, b)에 존재한다는 것이다. 롤의 정리는 미분가능한 함수에서 함숫값이 같은 두 지점이 있다면, 그 사이에 임계값이 존재한다는 것을 의미한다. 롤의 정리는 일반적으로, 평균값 정리(Mean Value Theory, MVT)를 증명하는 데에 있어서 보조 정리로 활용된다.

 롤의 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 [1] 롤의 정리를 증명하시오.

 (증명) 함수 f가 상수함수인 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 증명하자.

 (1) 함수 f가 상수함수인 경우(f(x)=k)에는 열린구간 (a, b)의 임의의 지점에서 f'(x)=0이므로 주어진 조건을 만족시킨다.

 상수함수가 아닌 경우에는, 열린구간 (a, b)에서 f(x)>f(a)를 만족하는 x가 존재하거나, f(x)<f(a)를 만족하는 x가 적어도 하나 존재하게 된다.

 (2) 열린구간 (a, b)에서 f(x)>f(a)를 만족하는 x가 존재하는 경우에는 최대·최소 정리에 의해, 함수 f는 닫힌구간 [a, b]에서 최댓값이 존재한다.  f(a)=f(b)이므로, f(a)와 f(b)가 모두 최댓값이 아니므로, 이 최댓값은 열린구간 (a, b)에서도 최댓값이다. 함수 f의 최댓값이 되는 지점 중 하나를 x=c라 하자. x=c에서 극값을 가지고 미분가능하므로, 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0이다.

 (3) 열린구간 (a, b)에서 f(x)<f(a)를 만족하는 x가 존재하는 경우에는 최대·최소 정리에 의해, 함수 f는 닫힌구간 [a, b]에서 최솟값이 존재한다.  f(a)=f(b)이므로, f(a)와 f(b)가 모두 최솟값이 아니므로, 이 최솟값은 열린구간 (a, b)에서도 최솟값이다. 함수 f의 최솟값이 되는 지점 중 하나를 x=c라 하자. x=c에서 극값을 가지고 미분가능하므로, 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0이다.

 이상으로, 모든 경우에 대해서 롤의 정리가 성립함을 증명하였다. □

 이로써 롤의 정리가 무엇이며, 어떻게 증명하는지 알아보았다. 롤의 정리를 통해 미분가능한 함수의 대표적인 성질을 설명할 수 있는 동시에, 평균값 정리를 증명하는데 보조 정리로 활용되므로 상당히 의미가 있는 증명 방법이다.