Uno Laboratory

(풀이) 주어진 조건을 만족하는 수를 N이라고 하자. N은 2진법으로 표현하면 마지막 세 자리가 011이므로, N=8a+3(a는 자연수)와 같이 나타낼 수 있다. 또, 5진법으로 표현하면 마지막 세 자리가 101이므로, N=125b+26(b는 자연수)와 같이 나타낼 수 있다. 위 두 조건을 만족시키는 (a, b) 순서쌍 중에서 a의 값이 가장 작은 경우는 (a, b)=(216, 5)인 경우로, N=651이다.

 N이 651보다 큰 경우에도 모두 N=1000k+651(k는 자연수)가 되어, 10진법으로 나타내는 경우 마지막 세 자리가 항상 651이 된다. 이는 N=8a+3과 N=125b+26을 동시에 만족시키기 위해서는, N이 8과 125의 최소공배수인 1000만큼 커져야 하기 때문이다. □

[정답] 651

 (풀이) 주어진 다항식의 4차식의 계수가 1이므로, 계수비교법에 의해, 두 개의 정수 계수 이차다항식의 2차식의 계수가 1임을 알 수 있다. 같은 원리로, 주어진 다항식의 3차식의 계수가 0이므로, 두 개의 정수 계수 이차다항식의 1차식의 계수는 절댓값이 같고 부호가 다름을 알 수 있다. 이를 수식으로 정리하면,

와 같다. 위 식은 항등식이므로, 계수비교법에 의해, 와 를 만족한다. 이를 연립하여 풀면,

와 같다. 이로 부터, 로 가능한 순서쌍은 (1,81), (9,9), (81,1)가 있다. 각각의 경우에 n이 존재하므로, n은 3개 존재한다. □

[정답] 3