이산수학의 정의 Definition of Discrete Mathematics
이산수학이란 무엇인가?
'이산수학이란 무엇인가요?'라는 질문에 대해서, 어떤 사람이 '이산수학이란 수학에서 이산적인 주제를 다루는 것입니다.'라고 대답하였다고 하자. 이 대답은 틀린 것은 아니지만 '이산적인 주제'의 범주가 모호하다는 한계가 있다. 다시 말해, '이산적인 주제'에 대한 구체적인 이해가 있어야 이산수학이 무엇인지 이해할 수 있다. 그렇다면 '이산적인 주제'에 대해서 구체적으로 알아보자.
이산수학(Discrete Mathematics)은 이산적인 수학체계를 연구하는 수학 분야이다1. 미적분학(Calculus)와 같은 경우에는 '미적분'이라는 핵심적인 주제가 있기 때문에, 그 학문의 성격을 명확하게 이해할 수 있다. 이에 비해, 이산수학의 경우에는 핵심적인 주제가 없고, '이산적인 성격'을 가지는 다양한 주제가 이산수학의 범주 안에 들어가므로, 그 범주를 명확하게 규정하기 어렵다.
이산수학의 범주가 모호한 것은 이산수학이 컴퓨터의 개발과 함께 발전한 분야이기 때문이다. 컴퓨터를 개발하는 과정에서, 그와 관련된 여러 수학적 개념이 필요한데, 그러한 수학적 개념을 집대성한 것이 이산수학이다. 그렇기 때문에 '이산적인 성격'을 가지는 주제라면 모두 이산수학의 범주에 들어가므로, 이산수학의 범주가 명확하지 않은 것이다.
이산수학은 '정보'와 관련된 내용을 다룬다. 이산수학에서는 정보과학(Theoretical Computer Science, TCS)의 내용을 다룬다. 이 분야는 컴퓨터 개발에 이용되는 일반적인 전산학과 수학의 이론을 연구하는 분야이다. 정보과학과 더불어 정보이론(Information Theory)이라는 분야도 있다. 이 분야에서는 일상적으로 주고받는 문자매체로부터 시작하여, 생명체가 유전정보를 전달하는 유전자까지 여러 분야의 정보 전달 방법 등을 다룬다.
이산수학은 일반적인 수학 이론 역시 다룬다. 논리구조가 일관성이 있는지, 타당한지, 완벽한지를 연구하는 논리학(Logic), 집합과 관련된 다양한 성질을 연구하는 집합론(Set Theory), 조합수를 이용해서 수를 세는 방법을 연구하는 조합론(Combination), 그래프와 관련된 다양한 성질을 연구하는 그래프 이론(Graph Theory), 표본공간에서 특정 사건이 일어나는 확률을 연구하는 확률론(Probability), 정수와 관련된 성질을 연구하는 정수론(Number Theory)가 바로 그것이다. 이 이외에도, 대수학, 기하학, 위상수학의 일부분야가 이산수학의 연구분야가 될 수 있다. 예컨대, 대수학의 논리단자(Logic Gate)를 연구하는 데 필요한 불대수(Boolean Algebra)는 이산수학의 중요한 연구분야이다.
게임이론(Game Theory), 결정이론(Decision Theory), 효용이론(Utility Theory)와 사회결정이론(Social Choice Theory) 등은 수학뿐만 아니라, 경영학이나 경제학에서도 중요하게 다루어지는 분야인데, 이들 분야 역시 이산수학의 한 분야이다. 이들 이론은 주어진 문제 상황을 해결하기 위해서, 최적에 가까운 해결 방안을 제시하기 위한 algorithm을 구성하게 되는데, 그 algorithm을 분석하는 과정에서 이산적인 수학 체계가 이용되기 때문이다. 이러한 분야의 연구 결과는 이후 인공지능(Artificial Intelligence)를 개발하는 데에 활용될 수 있다.
이와 같이, 이산수학은 컴퓨터 발전에 필요한 수학 개념을 집대성한 수학 분야이기에, 그 범주를 명확하게 규정하기는 어렵다. 다만, 그런 특성 더분에 광범위한 주제를 유기적으로 다룸으로써, 컴퓨터를 연구하는 전산학자가 직면하는 다양한 문제를 해결하는 데에 큰 도움이 된다.
[*] 이 글은 영문판 위키피디아의 'Discrete Mathematics' 항목의 내용을 참고하여 작성하였습니다. 다음은 참고한 원문의 일부를 발췌하여 번역한 것으로, 읽는 이의 이해에 도움이 될 것으로 보아 첨부한다.
이산수학은 기본적으로 연속적인 수학 체계보다 이산적인 수학 체계를 연구하는 수학 분야이다. 실수가 '매끄럽게' 바뀌는 속성을 가진 데에 비해서 이산 수학에서 다루는 정수, 그래프, 논리 표현과 같은 연구 주제는 매끄럽게 변하지 않고 이산적으로, 즉 서로 떨어진 값을 가진다. 그러므로 이산수학에는 미적분학이나 수리 분석과 같은 '연속적인 수학'의 주제는 다루지 않는다. 이산적인 대상은 보통 정수를 이용하여 열거할 수 있다. 이산수학은 가산집합2을 다루는 수학의 한 분야가 특화 된 것이라고 보는 것이 더 공식적인 견해이다. 하지만 이산수학에 대해 정확하면서도 보편적으로 받아들여지는 정의는 존재하지 않는다. 사실상 이산수학은 무엇을 연구하는지 보다는 무엇을 연구하지 않는지(연속성과 관련된 다양한 수량과 연관된 개념)를 통해서 더 잘 표현될 수 있는 것이다.