소수로 모든 자연수 나타내기
소수로 모든 자연수를 어떻게 나타내는가?
소수(素數)란 약수로 1과 자신만을 가지는 수이다. 소수는 우리말로 '씨가 되는 수'라는 뜻으로 '씨수'라는 표현을 쓰는데, 이로부터 소수는 의미상 모든 자연수를 표현하는 데에 있어서 '씨'가 된다는 것을 알 수 있다. 1보다 큰 모든 자연수는 모두 몇 개의 소인수로 나타내는 소인수 분해가 가능하다는 것을 통해 이 사실을 알 수 있다. 그렇다면 소수를 이용해서 모든 자연수를 표현하는 식을 만들어보자.
가장 작은 소수 2부터 소수를 오름차순으로 정렬하여 만든 수열 
와 같다. 이와 같은 경우, 다음과 같은 식
이 성립한다. 위 식의 좌변은 1부터 차례대로 자연수를 더한 것이고, 우변은 가장 작은 소수의 거듭제곱의 합들을 모든 곱한 것이다.
위 식이 성립하는지 알아보기 위해서는 우변의 식으로부터 모든 자연수를 표현할 수 있는지, 표현할 수 있다면 중복이 있는지를 알아보아야 한다. 먼저, 우변의 식으로 모든 자연수를 표현할 수 있다는 사실은 모든 자연수가 소인수분해가 가능하다는 것[산술의 기본정리]을 통해 알 수 있다. 이를 테면, 2와 같은 경우는 소인수로 2를 가지기 때문에,
와 같이 표현가능하다. 한편, 15와 같은 경우는 소인소로 3와 5를 가지기 때문에,
와 같이 표현가능하다.
모든 자연수를 표현할 수 있다면, 중복이 되지 않는다는 사실은 모든 자연수는 순서를 고려하지 않고, 1을 제외한다면 1가지 방법으로만 소인수분해 가능하다는 것[소인수분해의 일의성(유일성)]을 통해 알 수 있다. 만약, 우변을 전개하는 과정에서 같은 자연수를 표현하는 조합이 2가지 이상 나타난다면 그것은 소인수분해의 일의성에 위배되는 것이기 때문이다.
이로써, 소수의 거듭제곱의 합들을 통해서, 모든 자연수를 나타낼 수 있다는 것을 나타내는 식이 성립함을 알 수 있다.