롤의 정리

롤의 정리 Rolle's Theorem

롤의 정리란 무엇인가?

 미분가능한 함수에는 어떤 성질이 있을까? 그 중 대표적인 성질 중 하나가 같은 함숫값을 가지는 두 지점이 존재하면, 그 사이에 미분계수가 0이 되는 지점이 존재한다는 것이다. 이러한 성질이 롤의 정리인데, 롤의 정리가 무엇이며 어떻게 증명하는지 알아보자.

 롤의 정리(Rolle's Theorem)란 함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속, 열린구간 (a, b)에서 미분가능하고 f(a)=f(b)이면,

을 만족하는 c가 열린구간 (a, b)에 존재한다는 것이다. 롤의 정리는 미분가능한 함수에서 함숫값이 같은 두 지점이 있다면, 그 사이에 임계값이 존재한다는 것을 의미한다. 롤의 정리는 일반적으로, 평균값 정리(Mean Value Theory, MVT)를 증명하는 데에 있어서 보조 정리로 활용된다.

 롤의 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 [1] 롤의 정리를 증명하시오.

 (증명) 함수 f가 상수함수인 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 증명하자.

 (1) 함수 f가 상수함수인 경우(f(x)=k)에는 열린구간 (a, b)의 임의의 지점에서 f'(x)=0이므로 주어진 조건을 만족시킨다.

 상수함수가 아닌 경우에는, 열린구간 (a, b)에서 f(x)>f(a)를 만족하는 x가 존재하거나, f(x)<f(a)를 만족하는 x가 적어도 하나 존재하게 된다.

 (2) 열린구간 (a, b)에서 f(x)>f(a)를 만족하는 x가 존재하는 경우에는 최대·최소 정리에 의해, 함수 f는 닫힌구간 [a, b]에서 최댓값이 존재한다.  f(a)=f(b)이므로, f(a)와 f(b)가 모두 최댓값이 아니므로, 이 최댓값은 열린구간 (a, b)에서도 최댓값이다. 함수 f의 최댓값이 되는 지점 중 하나를 x=c라 하자. x=c에서 극값을 가지고 미분가능하므로, 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0이다.

 (3) 열린구간 (a, b)에서 f(x)<f(a)를 만족하는 x가 존재하는 경우에는 최대·최소 정리에 의해, 함수 f는 닫힌구간 [a, b]에서 최솟값이 존재한다.  f(a)=f(b)이므로, f(a)와 f(b)가 모두 최솟값이 아니므로, 이 최솟값은 열린구간 (a, b)에서도 최솟값이다. 함수 f의 최솟값이 되는 지점 중 하나를 x=c라 하자. x=c에서 극값을 가지고 미분가능하므로, 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0이다.

 이상으로, 모든 경우에 대해서 롤의 정리가 성립함을 증명하였다. □

 이로써 롤의 정리가 무엇이며, 어떻게 증명하는지 알아보았다. 롤의 정리를 통해 미분가능한 함수의 대표적인 성질을 설명할 수 있는 동시에, 평균값 정리를 증명하는데 보조 정리로 활용되므로 상당히 의미가 있는 증명 방법이다.