최댓값/최솟값, 극댓값/극솟값(극값)

최댓값/최솟값, 극댓값/극솟값(극값)
최댓값/최솟값과 극댓값/극솟값(극값)의 정의에 대해 알아보자

 수학에서 최대/최소의 개념은 직관적으로 가장 큰 값이나 가장 작은 값으로 이해하기 때문에 그 자체는 어려운 개념이 아니다. 하지만 이를 수학적으로 어떻게 나타내는지 알아보자.

 

 <절대 최댓값/절대 최솟값>

 x에 관한 어떤 함수 f, 함수 f의 정의역 D, 정의역 D의 원소 c가 주어진 경우에 절대 최댓값과 절대 최솟값은 다음과 같이 정의된다.

 

 절대 최댓값(absolute maximum)이란

 

()

 

를 만족하는 c의 x=c에서의 함숫값 f(c)를 말한다.

 

 절대 최솟값(absolute minimum)이란

 

 () 

 

를 만족하는 c의 x=c에서의 함숫값 f(c)를 말한다.

 

 일반적으로, 절대 최댓값은 최댓값으로 절대 최솟값은 최솟값으로 말한다. 주어진 함수의 정의역 뿐만 아니라, 특정한 구간에 있어서도 최댓값과 최솟값의 개념을 적용할 수 있다. 하지만 이 경우에도, 가 유효하다. 즉, 최댓값과 최솟값을 가지는 지점은 정의된 범위에 반드시 포함되어야 하며, 이는 구간을 어떻게 잡느냐에 따라서 최댓값과 최솟값을 가지지 않을 수 있음을 의미한다.

 

<극댓값/극솟값(국지적 최댓값/국지적 최솟값)>

 x에 관한 어떤 함수 f, 함수 f의 정의역 D, 정의역 D의 원소 c가 주어진 경우에 극댓값과 극솟값은 다음과 같이 정의된다.

 

 극댓값(국지적 최댓값, local maximum)이란

 

 (x는 c에 가까운 값)

 

를 만족하는 c의 x=c에서의 함숫값 f(c)를 말한다.

 

 극솟값(국지적 최솟값, local minumum)이란

 

 (x는 c에 가까운 값)

 

를 만족하는 c의 x=c에서의 함숫값 f(c)를 말한다.

 

 극값은 극댓값과 극솟값을 아울러 말하는 개념이다. 극값과 관련해서 2가지 유념할 사항이 있다.

 

 먼저, 극값을 '국지적 최댓값/최솟값'으로 볼 수 있다는 사실이다. 일반적으로 말하는 '(절대적) 최댓값/최솟값'은 주어진 정의역의 모든 값보다 커야/작아야 하는 반면, '국지적 최댓값/최솟값(극값)'은 가까운 값에 대해서만 커도/작아도 된다.

 

 한편, 극값에서 x가 'c에 가까운 값'이라는 개념을 명확하게 이해해야 한다는 사실이다. 'x=c에서 극댓값(극솟값)을 가진다'는 명제는 'x=c가 최댓값(최솟값)이 되도록 하는 c를 포함한 개구간을 잡을 수 있다'는 명제와 동치이다.

 

 이로써 최댓값/최솟값과 극댓값/극솟값(극값)의 개념에 대해 알아보았다. 우리가 직관적으로 이해하고 있는 개념이기는 하지만 수학적으로 어떻게 명확하게 정의하는지 알아둔다면, 개념을 혼돈하는 것을 막을 수 있다.