페르마의 정리

페르마의 정리 Fermat's Theorem
페르마의 정리란 무엇인가?

 어떤 함수가 극값을 가질 때에 어떤 성질을 가질까? 극값에서 접선을 그으면 가로축과 평행한 접선이 나타나는데, 이로 부터 극값의 미분계수는 0이 아닐까하는 생각이든다. 이러한 추측을 수학적으로 증명한 것이 페르마의 정리이다. 그렇다면 페르마의 정리에 대해 알아보자.

 

 페르마의 정리란 x에 관한 함수 가 x=c에서 극값을 가지고, 가 존재하면,

 

 

이 성립한다는 정리이다. 이 정리을 통해서, 어떤 구간에서 극값을 찾는 경우에는 이거나, 그 값이 존재하지 않는 지점만 확인하면 된다는 사실을 알 수 있다.

 

 [1] 페르마의 정리가 성립함을 증명하시오,

 

 (증명) x에 관한 함수 가 x=c에서 극댓값을 가지는 경우부터 증명하자.

 

 극댓값의 정의에 의해, 인 x가 c가까이에 존재한다. 이는 다시 말해서, 0에 아주 가까운 실수 h가 존재하여,

 

 

 

이 성립하도록 할 수 있다는 것이다.

 

 h>0인 경우, 양변을 h로 나누면,

 

 

이다. 우극한을 잡으면,

 

 

이다. 가 존재하므로,

 

 

이 성립한다.

 

 h<0인 경우, 같은 원리로 이다. 이고, 이므로 이 성립함으로, 증명하고자 하는 바가 증명되었다.

 

 함수 가 x=c에서 극솟값을 가지는 경우도 같은 원리로 증명할 수 있다. □

 

 이로써 페르마의 정리의 내용, 활용 방안과 증명 방법에 대해 알아보았다. (참고로, 페르마가 제시한 다른 정리와 구분하기 위해, 이 정리를 '페르마의 임계값 정리'라고도 한다.)