다르부의 정리

다르부의 정리 [해석학] Darboux's theorem

다르부의 정리란 무엇인가?

 일반적으로 함수 f가 미분가능하더라도, 그것의 도함수가 미분가능하다는 보장도, 연속이라는 보장도 없다. 그렇기 때문에, 주어진 함수의 도함수에 중간값 정리를 항상 적용할 수 있는지가 한 가지 문제이다. 이러한 문제를 해결해 주는 것이 다르부의 정리인데, 다르부의 정리에 대해 알아보자.

 다르부의 정리(Darboux's theorem)란 함수 f가 정의역을 열린구간 (a, b), 치역을 실수 전체 집합 R로 가지며, k가 f'(a)와 f'(b) 사이의 값이면,

를 만족하는 c가 닫힌구간에 존재한다는 것이다. 다르부의 정리는 일반적으로 주어진 구간에서 미분가능한 함수의 도함수에 대해서도 중간값 정리를 적용할 수 있다는 것을 의미한다.

 다르부의 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 [1] 다르부의 정리를 증명하시오. 

 (증명) k=f'(a)이면 c=a로, k=f'(b)이면 c=b로 각각 존재한다. 그 외의 경우는 일반성을 잃지 않고, f'(a)<k<f'(b)로 둘 수 있다. 함수 를 정의역을 열린구간 (a, b), 치역을 실수 전체 집합 R로 가지며,

와 같은 함수로 정의하자.

 함수 는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이므로, 최대·최소 정리에 의해서 닫힌구간 [a, b]에서 최댓값이 되는 x의 값 M이 존재한다. 함수 의 도함수는

이다. 여기서,

 (k>f'(a))

 (k<f'(b))

가 성립한다. 페르마의 정리에 의해서, 함수 는 x=a, x=b에서 극값을 가지지 않으므로, M≠a이고 M≠b가 성립한다. 이고, x=M에서 함수 는 극값을 가지므로, 페르마의 정리에 의해, 이다. 여기서, c=M으로 구하고자 하는 c값이 존재한다.

 이상으로, 모든 경우에 대하여 다르부의 정리가 성립함을 증명하였다. □

 이로써 다르부의 정리가 무엇이며, 어떻게 증명하는지 알아보았다. 다르부의 정리를 통해 일반적으로 도함수가 연속임이 보장이 되지 않는 상황에서도, 도함수에 중간값 정리를 적용할 수 있다는 것을 설명할 수 있다.