역함수 정리 (역함수의 미분법)

역함수 정리 (역함수의 미분법)

역함수의 도함수는 어떻게 구할까?

 어떤 함수가 일대일 대응 함수라면 그 함수는 역함수를 가지게 된다. 어떤 함수가 역함수를 가진다면, 역함수의 도함수와 원래 함수의 도함수 사이에는 일정한 관계가 가지고, 그 관계를 알면 역함수의 도함수를 쉽게 구할 수 있다. 그와 관련된 역함수 정리에 대해 알아보자.

 역함수 정리란 x에 관한 함수 f가 미분가능하고 정의역의 임의의 x에 대하여 f'(x)≠0이 성립한다면,

(1) y=f(x)의 역함수로

를 가지고, 이 역함수 역시 미분가능하다.

 (미분가능한 함수의 그래프는 매끄러운 개형으로 나타낼 수 있다. 함수 f의 그래프와 역함수의 그래프는 y=x에 대하여 대칭이다. 함수 f의 그래프가 미분가능하므로 매끄러운 개형을 가지므로, 그와 대칭인 역함수의 그래프도 매끄러운 개형을 가진다. 역함수 역시 매끄러운 개형을 가지므로 역함수 역시 미분가능하다.)

(2) 함수 f와 그 역함수 사이에는

와 같은 관계가 있다.

가 성립한다는 것이다. 역함수 정리는 함수 f의 도함수와 역함수의 도함수에 어떤 관계가 있으며, 그 관계를 통해서 역함수의 도함수를 구할 수 있다는 것을 의미한다.

 역함수 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 [1] 역함수 정리를 증명하시오.

 (증명 1) f'(x)≠0으로부터 함수 f는 정의역 전체에서 항상 f'(x)>0이거나 항상 f'(x)<0이다. 정의역에서 f'(x)<0인 x와 f'(x)>0인 x가 동시에 존재하면 다르부의 정리(도함수에 관한 중간값 정리)에 의해 정의역에 f'(x)=0인 x가 존재하기 때문이다.

 일반성을 잃지 않고, f'(x)>0인 경우부터 생각해 보자. f'(x)>0이면 함수 f(x)는 순증가함수이므로, 역함수가 존재한다. 함수 f(x)의 정의역의 원소 x_1에 대하여, y_1=f(x_1)이 성립하므로,

와 같이 구할 수 있다.

 (증명 2) 함수 f의 역함수를 함수 g라고 하면,

, 

를 만족한다. 위 관계식을 y, x에 대하여 합성함수의 미분법을 적용하면,

, 

와 같다. f'(x)≠0이므로, g'(y)≠0가 성립하여,

, 

가 성립한다.

 이로써 역함수 정리가 성립함을 증명하였다. □

 이로써 역함수 정리란 무엇이며, 역함수 정리를 어떻게 증명하는지를 알아보았다.