함수의 정의

함수의 정의 function

정의역 / 치역 / 공역

함수란 무엇인가?

 함수를 '마법 상자'로 설명하는 경우가 있다. 함수라는 마법상자에 x라는 어떤 수를 넣을 경우에, 그에 상응하는 어떤 값이 나오기 때문에, 함수를 마법상자로 설명하는 것이다. 함수에 대해 자세히 알아보자.

<함수의 정의>

 함수란 두 변수 x, y에 대하여, x의 값이 정해지면 y의 값이 정해지는 관계를 말한다. 일반적으로 함수 f가 x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지는 관계에 있으면,

와 같이 표현한다.

<정의역/공역/치역>

 함수 f는 x의 값이 정해지면 y의 값을 정하는 관계에 있다고 하자.

 정의역(domain)이란 주어진 함수 f의 x의 값의 집합, 공역(codomain)은 주어진 함수의 y의 값의 집합이고 치역(range)은 주어진 함수의 함숫값 전체의 집합이다. 일반적으로

와 같이 표현한다. 위의 그림에서 함수 f는 x를 f(x)로 이은 선, 정의역은 집합 X, 공역은 집합 Y, 치역은 노란색 음영의 영역으로 표시되어 있다.

 치역은

와 같이 표현된다. 치역의 정의에 의해, 치역은 항상 공역의 부분집합이다.

 정의역이 X이고 공역이 Y인 함수는

와 같이 표현한다.

<함수가 정해지지 않는 경우>

 함수 f가 정의되지 않는 경우는 x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지는 관계를 나타내는데, x의 값이 정해져도 y의 값이 정해지지 않는 경우이다. x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지기 위해서는 정의역에 포함된 모든 x의 값에 대해서 y의 값이 1개씩 존재하는 경우이다. 그런데 정의역에 있는 어떤 x의 값에 대해서 y의 값이 1개로 정해지지 않는 경우[아예 없는 경우(0개)나 2개 이상인 경우]는 함수가 정의되지 않는다.

 이로써 함수의 정의, 정의역, 공역, 치역, 공역과 치역의 개념과 더불어 함수가 정의되지 않는 경우에 대해 알아보았다.