결과, 사건, 표본공간

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결과, 사건, 표본공간에 대해 알아보자

 우리는 흔히 '사건'이라는 말을 자주 사용한다. 수학에서도 '사건'이라는 용어를 사용하는데, 수학에서 말하는 사건은 일종의 집합 개념이다. 사건의 개념을 어떻게 집합으로 표현하는지 알아보자.

[참고] 시행의 정의

 <결과의 정의 / 사건의 정의>

 결과란 시행으로 인해 나타난 여러 가지 현상을 말하며, 사건이란 결과를 원소로 하는 집합을 말한다.

<사건이 일어나다>

 어떤 시행으로 나타난 결과 r로 인해서, 어떤 사건 E가 일어났다는 것은

가 성립하는 경우를 말한다. 반면, 어떤 사건 E가 일어나지 않았다는 것은

가 성립하는 경우를 말한다.

 <표본공간의 정의>

 표본공간이란 어떤 시행으로 나타날 수 있는 결과를 모두 포함하고 있는 집합을 말한다. 표본공간의 정의와 사건의 정의로부터, 사건을 표본공간의 부분집합으로 보아도 무방하다는 것을 알 수 있다.

 예컨대, '주사위를 던지다'는 시행이 있다고 하자. 그 시행에서 '눈금으로 i가 나오는 결과'를

와 같이 표현한다고 하자. 주어진 시행에서는 6가지 결과가 나타날 수 있고, 이들 결과를 원소로 하는 집합은 가지 존재할 수 있다는 것을 알 수 있다. 그 사건 중에서  를 '홀수가 나오는 사건', 를 '소수가 나오는 사건' 등 과 같이 의미를 부여할 수 있다.

 주어진 시행에서 결과

가 나타났다고 하자. 이 결과는

, 

이므로, '홀수가 나오는 사건'은 일어났지만, '수수가 나오는 사건'은 일어나지 않았음을 알 수 있다.

 주어진 시행에서 표본공간이란 나타날 수 있는 결과를 모두 포함하는 집합이므로,

와 같다. 정의로부터, 주어진 시행에서 나타나는 모든 사건은 표본공간의 부분집합임을 알 수 있다.

 이로써 어떤 시행으로부터 나타나는 결과, 사건과 표본공간의 정의에 대해 알아보고, 실제 사례를 통해 알아보았다.

[유의 사항] 위 포스트는 일반적으로 시행의 사건이나 표본공간을 정의하는 방식과 차이가 있고, 그 사항과 그와 방식으로 기술한 이유는 다음과 같다.

 1. 일반적으로 '시행의 결과' 대신 '근원사건'의 개념을 활용한다. 여기서, 근원집합이란 원소가 하나인 사건을 말하는 것인데, 그와 같이 정의하면 진작 사건이라는 집합의 원소에 대한 정의가 이루어지지 않기 때문에, '근원사건' 대신 '시행의 결과'의 개념으로 설명했다.

 1. 일반적으로 사건을 표본공간의 부분집합으로 정의한다. 여기서는 '시행의 결과'를 통해 사건과 표본공간을 정의한 이후에, 사건과 표본공간 사이의 관계를 일종의 기본 성질과 같은 방식으로 설명했다.