급수 판정법 (4) - 거듭제곱근 판정법 (멱근 판정법)

급수 판정법 (4) - 거듭제곱근 판정법 (멱근 판정법)

일반항의 거듭제곱근을 통해 급수의 수렴 여부를 어떻게 알 수 있을까?

 직관적으로 어떤 급수의 거듭제곱근이 1보다 작다면 그 급수는 수렴할 것이고, 반대로 거듭제곱근이 1보다 크면 그 급수는 발산한다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 이러한 직관적인 사실을 수학적으로 어떻게 표현하는지 알아보자.

 거듭제곱근 판정법(멱근 판정법)이란 음이 아닌 실수로 이루어진 급수 에서, 극한값

이 존재한다면,   는

 (1) r<1인 경우는 수렴한다.

 (2) r>1인 경우는 발산한다.

와 같은 성질을 가진다는 것이다. 이러한 성질을 이용해서, 일반항의 거듭제곱근을 이용해서 주어진 급수의 수렴 여부를 알 수 있다.

[1] 거듭제곱근 판정법을 증명하시오.

 (증명) (1)을 먼저 증명하자. 실수 를   이 되도록 잡자.  이므로 n이 커질수록  은 실수 r에 가까워지고,

m<n인 ∀n에 대해서,  ()

와 같은 자연수 m이 존재한다. 주어진 급수는

와 같이 정리할 수 있어서, 수렴함을 알 수 있다.

 (2)의 경우를 증명하자. 실수 를  이 되도록 잡자. 이므로 n이 커질수록  은 실수 r에 가까워지고,

m<n인 ∀n에 대해서,  ()

와 같은 자연수 m이 존재한다. 주어진 급수는

와 같이 정리할 수 있어서, 발산함을 알 수 있다. (여기서, 이 1보다 크므로, 일반항 판정법에 의해 발산함을 알 수 있다.)

 이와 같이, 일반항의 거듭제곱근의 크기가 1보다 큰지에 따른 급수의 수렴 여부에 대해 알아보았다. □

 이로써 거듭제곱근 판정법의 정의와 그것에 대한 증명 방법을 알아보았다.