급수 판정법 (3) - 비율 판정법

급수 판정법 (3) - 비율 판정법

일반항의 두 항 사이의 비를 통해 급수의 수렴 여부를 어떻게 알 수 있을까?

 직관적으로 어떤 급수의 수열이 꾸준히 어떤 비율로 작아지면 수렴하고, 어떤 비율로 커지면 발산한다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 이러한 직관적인 사실을 수학적으로 어떻게 표현하는지 알아보자.

 비율 판정법이란 일반항이 양의 실수인 수열   과 0<r<1이 주어졌을 때,

(1) ∀n에 대해서,  인 경우,   는 수렴한다.

(2) ∀n에 대해서,   인 경우,   는 발산한다.

가 성립한다는 것이다. 이러한 성질을 이용해서, 일반항의 두 항 사이의 비율을 통해서 주어진 급수의 수렴 여부를 알 수 있다.

 [참고] 위에서 별도의 시작조건과 종료조건이 없는 시그마가 나오는데, 그것은 이다.

[1] 비율 판정법을 증명하시오.

(증명) (1)을 먼저 증명하자. 0<r<1이므로,

와 같은 대소관계가 성립한다. 여기서 와 같은 대소관계가 성립하는데, 주어진 급수보다 큰 급수가

와 같이 수렴한다. 이와 같이, (1)의 경우는   가 수렴함을 알 수 있다.

(2)의 경우에는

와 같은 대소관계가 성립한다. 여기서,   이므로 일반항 판정법에 의해, (2)의 경우는 가 발산함을 알 수 있다.

 이와 같이, 일반항의 두 항 사이의 비율에 따라서 급수의 수렴 여부에 대해 알아보았다. □

 이로써 비율 판정법의 정의와 그것에 대한 증명 방법을 알아보았다.