급수 판정법 (2) - 비교 판정법

급수 판정법 (2) - 비교 판정법
일반항의 대소관계를 통해 급수의 수렴 여부를 어떻게 알 수 있을까?

 직관적으로 어떤 급수의 일반항이 수렴하는 급수의 일반항보다 작다면 수렴할 것이며, 어떤 급수의 일반항이 발산하는 급수의 일반항보다 크다면 발산할 것이라는 것을 알 수 있다. 그렇다면 이러한 일반항의 대소관계와 급수의 수렴 여부에 어떤 관계가 있는지 알아보자.

 비교 판정법이란 양항급수^[각주:1]의 일반항이 와 같은 관계에 있을 때,

 (1) 이 수렴할 때, 가 수렴한다.

 (2) 이 발산할 때, 가 발산한다.

가 성립한다는 것이다. 이러한 성질을 이용해서, 수렴 여부를 아는 급수와 두 급수의 대소관계가 주어졌을 때, 수렴 여부를 모르는 다른 급수의 수렴 여부를 알 수 있다.

 [참고] 위에서 별도의 시작조건과 종료조건이 없는 시그마가 나오는데, 그것은 이다.

 [1] 비교 판정법을 증명하시오.

(증명) (2)는 (1)의 대우 명제이기 때문에, (1)이 성립함만을 보이면 된다.

  은 수렴하는 급수이기 때문에, 그 수렴하는 값을 실수 M이라고 두자. 일반항 사이의 대소 관계로부터,

 

와 같은 관계를 구할 수 있다. 이로 부터, 수열 을

 

와 같이 둘 수 있다. 수열   은 실수 M보다 항상 같거나 작으므로 위로 경계가 있고, 수열   은 양항급수이기 때문에 증가수열이다. 위로 경계가 있고, 증가수열이기 때문에 실수의 완비성에 의해 극한값이 존재한다.

 이와 같이, 주어진 조건에서   이 항상 극한값을 가진다는 것을 증명하였으므로, 비교판정법이 성립함을 증명하였다. □

 이로써 비교 판정법의 정의와 그것에 대한 증명 방법을 알아보았다.

1. 음이 아닌 실수로 이루어진 급수 [본문으로]