이상적분 (1) - 적분구간이 무한히 긴 경우

이상적분 (1) - 적분구간이 무한히 긴 경우

적분구간이 무한히 긴 경우의 정적분을 구하는 방법

 일반적으로 정적분은 구간의 길이가 유한한 범위에서만 정의되는 경우가 일반적이다. 그렇다고 구간이 무한히 길다고 해서 항상 그 값을 구하지 못하는 것은 아니다. 적분 구간이 무한히 긴 경우의 정적분을 구하는 방법에 대해서 알아보자.

[들어가기] 이상적분(異常積分, Improper integral)

 이상적분이란 일반적인 정적분의 정의로 구해지지 않는 상황에서 정적분의 값을 구하는 것을 말한다. 이상적분의 대표적인 예로 적분구간이 무한히 긴 경우와 적분구간 안에 불연속인 지점이 있는 경우가 있다. (이상적분은 특이적분(特異積分), 가성적분(假性積分), 변격적분(變格積分) 등으로 불리기도 한다.)

 이상적분 중에서 적분구간이 무한히 긴 경우는 다음과 같이,

 (1) 에서, 극한값  가 존재한다면,

가 존재한다.

 (2) 에서, 극한값  가 존재한다면,

가 존재한다.

 2가지 방식으로 구할 수 있다.

 여기서,

, 

의 값이 존재하면 수렴한다고 하고, 값이 존재하지 않으면 발산한다고 한다.

 한편,

, 

가 모두 존재하면,

와 같이 정의된다. 임의의 실수 a에 대해서 성립한다.

 [1] 다음 값

이 존재할 때, 임의의 실수 a에 대하여,

가 성립함을 증명하시오.

 (증명) 주어진 바를 증명하기 위해서는, 임의의 실수 a, b에 대해서 항상

가 성립함을 증명하면 된다. 이는

 

  (, 정적분의 기본 정리)

 

 

와 같이 증명할 수 있다. 이를 통해, 임의의 실수 a를 잡더라도 의 값은 변하지 않음을 알 수 있다.

 이로써 이상적분 중에서 적분구간이 무한히 긴 경우는 어떻게 값을 구하는지에 대해 알아보았다.