함수의 속성 (1) - 일대일 / 대응 / 일대일 대응

함수의 속성 (1) - 일대일 / 대응 / 일대일 대응

[전사/단사/전단사]

함수의 속성 중에서 일대일/대응과 관련된 개념에 대해 알아보자.

 수학자 칸토어는 무한의 크기를 비교하는 과정에서 두 무한집합의 원소를 대응시키는 방법을 통해서 비교하였다. 이와 같이, 두 집합의 원소를 대응하는 양상이 어떤 것인지, 정의역의 원소가 치역의 원소에 일대일로 연결이 되는지는 함수를 이해하는 데에 대단히 중요하다.

 <일대일>

 어떤 함수가 일대일(one-to-one, injective)이라는 것은 그 함수의 공역의 모든 원소에 대응하는 정의역의 원소가 하나 이하라는 것이다. 어떤 함수가 일대일이라는 속성을 가지면 주어진 원소 사이에

와 같은 관계가 성립한다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다.

<대응>

 어떤 함수가 대응(correspondence, surjective)이라는 것은 그 함수의 모든 공역의 원소 중에서 정의역에 대응되지 않는 원소가 없다는 것이다. 어떤 함수가 대응이라는 속성을 가지면 공역과 치역이 같다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다.

<일대일 대응>

 어떤 함수가 일대일 대응(one-to-one correspondence, bijective)이라는 것은 그 함수가 일대일이라는 속성과 대응이라는 속성을 동시에 만족시키는 것이다. 즉, 그 함수의 모든 공역의 원소에 대응하는 원소가 하나씩만 존재한다는 것이다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다. 일대일 대응이라는 속성을 가지는 함수의 대표적인 성질은 역함수를 가진다는 것이다.

 [참고] 어떤 함수가 '일대일'의 속성을 가지면 '단사(單射)', '대응'의 속성을 가지면 '전사(全射)', '일대일'의 속성과 '대응'의 속성을 동시에 가지면 '전단사(全單射)'라고 표현하기도 한다.

<수평선 검사>

 수평선 검사(Horizontal Line test)란 주어진 함수가 일대일 대응인지 확인하는 방법으로, 함수 f가 x에 관한 y의 함수라면 x축과 수평선을 그었을 때, 2번 이상 교차하는 수평선이 존재하지 않는다면 주어진 함수가 일대일 대응으로 판단하는 검사 방법이다. 다음과 같이,

y=x 단위원

 

두 가지 예를 살펴보자. y=x인 경우에는 어떤 수평선을 긋더라도 교점이 하나 이상 나타나지 않지만, 단위원의 경우에는 열린구간 (-1, 1)에서 수평선을 그을 경우 교점이 2개 나타난다. 이와 같이, 주어진 함수의 그래프에 수평선을 긋는 것을 통해서 주어진 함수가 일대일 대응인지 판단할 수 있다. 주어진 함수가 역함수를 가지기 위해서는 일대일 대응이어야 하는지 확인해야 하는데, 이러한 수평선 검사 방법은 해당 함수가 역함수를 가지는지 판단할 때, 큰 도움이 된다.

 이로써 함수의 대표적인 속성인 일대일과 대응에 관함 개념을 알아보았고, 이와 더불어 주어진 함수가 일대일 대응인지 알아보는 수평선 검사 방법을 알아보았다.