자연상수 e의 성질 (1) - e의 존재성

자연상수 e의 성질 (1) - e의 존재성

자연상수 e는 존재하는가?

 

 e는 극한값으로 정의된다. 산술적으로 e는 2.71828...로 알려져있지만, 그 값이 실제로 존재하는지에 대해서는 별도의 설명이 필요하다. e가 실제로 존재하는지, 존재한다면 어느 구간에 있는지 알아보자.

 자연상수 e가 존재하는지는 실수의 완비성을 이용해서 증명할 수 있다.

[1] 자연상수 e가 열린구간 (2, 3)에 존재함을 증명하시오.

 (증명) 수열 $\{a_n\}$이

 

$a_n = ( 1 + \dfrac{1}{n} )^n $  ($n=1,2,3,...$)

 

일 때,  위로 경계가 있는 증가수열임을 보이자. 주어진 식은 다음 (*1)식과 같이 정리할 수 있다.

 

 

여기서 수열 $\{a_n\}$은 2보다 항상 큼을 알 수 있다.

 

  이 식에서, 아래와 같은 대소관계를 이끌어 낼 수 있다. 

 

 

 위 식을 통해, 수열 $\{a_n\}$이 3보다 항상 작음을 알 수 있다. 여기서, $e$가 열린구간 $(2,3)$에 존재함을 알 수 있다.

 

 위 수열은 증가하는데, 그 이유는 (*1)식을 관찰하면 알 수 있다. 여기서, $n$이 증가할 때, 더하는 항의 수도 증가하며, 아래식과 같은 대소 관계로부터,

 

 

각 항의 값 자체도 증가한다는 것을 알 수 있다. 이로써, 수열 $\{a_n\}$이 증가하는 수열임을 알 수 있다.

 

 이로써, 수열 $\{a_n\}$이 3보다 항상 작으므로, 3을 윗경계로 하는 위로 경계가 있는 수열이며, 증가하는 수열임을 알 수 있다. 실수의 완비성에 의해서,

 

 

가 극한값을 가진다.  □

 이로써, 자연상수 e의 극한값이 존재하며, 그 값이 2와 3사이에 있음을 증명하였다.