경계의 개념 (3) - 경계 있음 (집합)

경계의 개념 (3) - 경계 있음 (집합)

경계 있음 / 위로 경계 있음 / 아래로 경계 있음 / 윗경계 / 아랫경계 

[유계 / 위로 유계 / 아래로 유계 / 상계 / 하계]

어떤 집합이 경계가 있다는 것은 어떤 뜻인가?

 수열과 마찬가지로 어떤 집합에서 어떤 원소가 다른 모든 원소보다 크거나, 어떤 원소가 다른 모든 원소보다 작은 경우가 있다. 집합의 경우에도 수열의 경우로 '경계'의 개념이 있다. 이와 관련하여 집합의 '경계'의 개념에 대해 알아보자.

 집합 A는 실수체^[각주:1]의 부분집합이다.

 집합 A가 주어졌을 때, 위로 경계가 있다(upper bounded)는 것은

, 

와 같은 실수 M이 존재한다는 것이다. 이 때, 실수 M을 집합 A의 윗경계(upper bounded)라고 한다.

 집합 A가 주어졌을 때, 아래로 경계가 있다(lower bounded)는 것은

, 

와 같은 실수 m이 존재한다는 것이다. 이 때, 실수 m을 집합 A의 아랫경계(lower bounded)라고 한다.

 [참고] '경계 있음'은 '유계(有界)'로 표현하기도 한다. '위로 경계 있음'과 '아래로 경계 있음'은 각각 '위로 유계이다', '아래로 유계이다'라고 표현하기도 한다. 한편, '윗경계'는 '상계(上界)', '아랫경계'는 '하계(下界)'로 표현하기도 한다.

 (이 사항은 '수열'에서의 '경계 있음'의 경우와 마찬가지이다.)

 이로써, 집합에서 '경계 있음'과 관련된 용어에 대해 알아보았다.

1. 여기서는 간단하게 '모든 실수로 이루어진 집합'으로 보아도 무방하다. [본문으로]