자연상수 e의 성질 (2) - e는 무리수

자연상수 e의 성질 (2) - e는 무리수

e는 무리수인가?

 자연상수 e는 π와 더불어 대표적인 무리수로 알려져있다. 그렇다면 왜 자연상수 e가 무리수인지 알아보자.

 자연상수 e가 무리수인지는 귀류법을 이용해서 증명할 수 있다.

[1] 자연상수 e가 무리수임을 증명하시오.

 (증명) 귀류법에 의해 증명하기 위해, 가 유리수라고 가정하자. 유리수의 정의에 의해, 어떤 자연수 p에 대하여, 자연상수 e와 자연수 p의 곱이 자연수가 된다. 그러한 p에 대하여,

와 같은 식을 구할 수 있다. 등식의 성질에 의해, 위 식의 (*1) 부분 역시 자연수가 되어야 한다. (*1) 부분은

와 같이 정리할 수 있다. 여기서 p는 자연수이므로 (1/p)는 1보다 작은 수인데, 자연수가 1보다 작다는 결론이 나왔으므로 모순이다. 자연상수 e가 유리수라고 가정했을 때, 모순되는 사실이 도출되므로, 자연상수 e는 무리수이다. □

 이로써, 자연상수 e가 무리수임을 증명하였다.