함수의 극한

함수의 극한

함수의 극한이란 무엇인가?

 수열을 일반적으로 '정의역이 자연수인 함수'로 해석할 수 있다면, '수열의 극한'과 같이 함수에도 '함수의 극한'이라는 개념이 있지 않을까라는 생각을 할 수 있다. 그렇다면 함수에서는 극한의 개념에 대하여 알아보자.

 

 함수의 극한

 

 

 

이란 x가 a에 가까이 갈수록, f(x)가 L에 가까이 간다는 것이다. 'x가 a에 가까이 간다'는 것은 'x=a로 간주한다'는 뜻이 아니라는 것에 유의해야 한다. 이는

일 때,   이다.

와 같이 표현하기도 한다.

 

 다만, 함수 f(x)는 x=a 주변에서 정의되어야 한다. '함수 f(x)가 x=a 주변에서 정의된다'라는 것은 함수 f(x)가 x=a를 포함하는 열린구간에서 정의된다는 것이다. (x=a에서는 반드시 정의될 필요는 없다.)

 

 어떤 값에서의 함수의 극한은 그 값에 대해서, 작은 경우나 큰 경우에 대해서만 고려할 수도 있다.

 

 함수의 좌극한

 

 

 

이란 x가 a보다 작으면서, a에 가까이 갈수록, f(x)가 L에 가까이 간다는 것이다.

 

 함수의 우극한

 

 

 

이란 x가 a보다 크면서, a에 가까이 갈수록, f(x)가 L에 가까이 간다는 것이다.

 

 함수 f(x)가 x=a에서 극한값을 가진다는 것은 좌극한과 우극한을 모두 갖는다는 것을 의미한다. 앞서 배운, 함수의 극한, 좌극한과 우극한의 개념을 엮어서,

 

 ⇔  and

 

와 같이 정리할 수 있다.

 

 이로써, 함수의 극한과 좌극한/우극한의 개념에 대해 알아보았다.