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미적분학의 기본정리(미적분의 기본정리, 정적분의 기본정리)
미분과 적분, 부정적분과 정적분은 어떤 관계가 있을까?

 미분과 적분인지 무엇인지 알아보았지만 막상 이들 사이에 얼마나 긴밀한 관계가 있는지는 알기 어렵다. 도함수를 구하는 미분은 결국 접선의 기울기를 구하는 것이고, 정적분의 값을 구하는 적분은 결국 넓이를 구하는 것인데 이들 사이에는 어떤 관계가 있는 것인지 이해하기 어렵다. 적분 안에서도 부정적분과 정적분의 경우 인테그랄을 쓴다는 것 이상으로는 공통점을 이해하기 어렵다. 이들 사이의 관계는 미적분학의 기본정리를 통해서 설명이 가능하다. 그렇다면 미적분학의 근간을 이루는 대표적인 기본 정리 2개가 각각 무엇이며, 그것이 왜 성립하는지 알아보자.

 미적분학의 기본 정리는 크게 '미적분의 기본정리'와 '정적분의 기본정리'라는 2개의 정리로 구성되어 있다. 미적분의 기본정리는 미분과 적분은 어떤 관계가 있는지 설명하는 것이고, 정적분의 기본정리는 부정적분의 차이를 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 설명하는 것이다.

 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 0이상일 때, 닫힌 구간 [a, b]에서 곡선 y=f(x)와 x축으로 둘러싸인 넓이는

와 같이 나타낼 수 있다. 미적분의 기본정리는 함수 S(x)의 값을 무한급수의 방법으로 구하는 과정에서, 함수 S(x)의 도함수는 함수 f(x)가 아닐까라는 생각에서 시작된다. 직관적으로는 넓이를 '아주 작은 구간'에서의 변화는 결국 그 지점에서 함숫값이 된다는 것을 알 수 있다.

 이 사실은 증명하면 다음과 같다. 일반성을 잃지 않고, x의 변화량 Δx가 0보다 큰 경우를 생각해보자. 함수 S(x)의 변화량 ΔS는

 가 된다. 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이므로, 최대, 최소 정리에 의해 최댓값 M과 최솟값 m을 가지게 된다. 그 최댓값과 최솟값에 의해 변화량 ΔS는

와 같은 범위 안에 있음을 알 수 있다. 양변을 변화량 Δx로 나눈다면

이 된다. 변화량 Δx가 0보다 작은 경우에도 똑같은 방식으로 위와 같은 결과가 나온다.

 여기서 변화량 Δx가 0에 한없이 가까워진다면, 함숫값 f(x)와 함숫값 f(x+Δx)가 사이의 차이가 없어지면서, 최댓값 M과 최솟값 m 모두 함숫값 f(x)에 가까워진다. 극한값의 성질인 샌드위치 정리에 의해서,

 가 성립함을 알 수 있다. 이는 도함수의 정의에 의해서,

 가 성립한다는 것을 의미한다.

 넓이의 개념을 착안해서, 함수 f(x)가 해당 구간에서 0이상인 경우에 대해서 증명하였지만, 함수 f(x)의 부호에 상관 없이 일반적인 경우에도 성립한다.

 이와 같이, 미적분의 기본 정리를 통해서 미분과 적분 사이에 어떤 관계가 있는지 알 수 있다. 특히, 어떤 함수를 적분을 한 다음에 그것을 다시 미분하면 원래 함수가 된다는 것을 알 수 있다.

('정적분의 기본정리'는 추가 정리 예정)


 
[참고] 위키피디아 '미적분학의 기본정리'



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적분의 정의 (정적분의 정의)
적분이란 무슨 뜻일까?

 '적분'이 무엇인지 물으면 선뜻 대답하기 어렵다. 넓이를 구하는 것이라고 설명해야 할 것 같기도 하고, 미분에 대응하는 개념이라고 설명해야 할 것 같기도 하다. 이는 '적분'과 관련된 개념의 근본적인 의미를 파악하지 못하고, 적분과 관련된 개념이 사용되는 양상을 파악하는 데 그쳤기 때문이다. 적분과 관련된 기본적인 개념을 파악해보자.

 적분이란 부정적분이나 정적분의 값을 구하는 것을 말하고, 부정적분이나 정적분의 값을 구하는 과정을 '적분법'이라고 말한다. 표현을 할 때, 단순히 '주어진 함수를 적분한다'라는 표현을 쓴다면 그것은 주어진 함수의 부정적분을 구하는 것이고, 구간을 주어 '주어진 함수를 a에서 b까지 적분한다'라는 표현을 쓴다면 주어진 함수의 해당 구간의 정적분의 값을 구하는 것이다.

  '부정적분'에 대해 알아보자. 주어진 함수 f(x)의 부정적분을 구한다는 것은 주어진 함수 f(x)를 도함수로 가지는 함수 F(x)를 구하는 것을 말한다. 여기서 함수 f(x)와 함수 F(x)는 간단히

 와 같은 관계를 가졌다고 정리할 수 있다. 여기서 함수 F(x)는 함수 f(x)의 부정적분(원시함수)라고 표현한다. 부정적분이라는 표현은 주어진 함수에 대한 원시함수의 동의어를 말하기도 하고, 그 원시함수를 구하는 과정을 말하기도 한다.

 주어진 함수 f(x)에 대해서, 부정적분은 하나가 아니다. 직관적으로 함수 F(x)를 y축 방향으로 평행이동하여 만든 함수 G(x)는 기울기 변화에 있어서는 원래 함수인 F(x)와 같기 때문에, 미분한 결과 역시 함수 F(x)와 같다는 것을 알 수 있다. 실제로 상수 C는 미분하여 0이 되기 때문에,

 와 같이 표현할 수 있다. 함수 F(x)가 함수 f(x)의 원시함수라고 한다면 상수 C에 대해, F(x)+C도 함수 f(x)의 부정적분이 된다는 것을 알 수 있다.

 주어진 함수 f(x)에 대해서 부정적분이 하나가 아니기 때문에, 함수 f(x)의 부정적분을 표현할 때에는 상수 C를 이용해서,

 와 같이 표현할 수 있다. 함수 f(x)는 적분을 하는 대상이기 때문에 피적분함수라고 부르고, 상수 C는 적분상수라고 부른다. 이와 같이, 구간을 정하지 않고 적분을 하는 것은 주어진 함수의 부정적분(원시함수)를 구하는 것이다.

 한편, 위의 동치를 나타내는 명제에서, 함수 f(x)의 부정적분 F(x)를 구한다는 것은 부정적분 F(x)를 미분하여 함수 f(x)를 구하는 것을 거꿀로 하면 된다는 것을 알 수 있다. 이를 통해서, '부정적분을 구한다'는 '미분을 역연산하는 것이다'라고 표현하는 것이 가능함을 알 수 있다.

 '정적분'에 대해 알아보자. a에서 b까지의 주어진 함수의 정적분의 값은

과 같은 무한급수이다. 이것을 간단하게 

 와 같이 나타내어 '정적분의 정의'라고 한다. (단, 여기서 a는 아랫끝, b는 윗끝이라고 말한다.)

 위 식에서 x_k와 Δx는 무엇을 의미할까? x_k와 Δx는 각각

와 같다. 이것은 적분하고자 하는 구간을 n개의 조각으로 나눈 것의 하나하나를 표현하기 위한 수단이라고 보면 된다. 

 Δx는 (b-a)를 n으로 나눈 것인데, 이것은 닫힌 구간 [a, b]의 구간의 길이 (b-a)를 n등분한 것이다. 조각 하나의 길이를 나타내는 것으로 보면 된다. x_k는 a에서 k개의 조각 길이만큼 더한 것이다. 이것은 k번째 조각의 위치를 나타내는 것으로 보면 된다. k=0일 때에는 적분을 시작하는 지점인 a를 나타내고, k=n일 때에는 적분을 마치는 지점인 b를 나타낸다는 것을 알 수 있다.

 정적분의 정의는 정적분과 무한급수 사이에 어떤 관계가 있는지 보여준다. 이러한 관계는 일상적인 상황에서 어떤 도형을 무한급수의 식으로 표현했을 때, 그 식을 다시 적분식으로 표현해서 값을 구하고자 할 때 요긴하게 쓸 수 있다. 실제 문제 상황에서 이 관계를 효과적으로 쓰기 위해서는 정적분의 정의가 어떻게 해서 나왔는지 파악하여, 식의 의미를 올바르게 파악할 필요가 있다.

 정적분의 정의의 하나하나를 살펴보자. 시그마 부호 안은 'k번째 조각의 함숫값'과 '조각 하나의 길이'를 곱한 것이다. 이것은 하나의 조각을 직사각형으로 보고 그 조각의 가로와 세로를 곱한 것이다. 이것은 주어진 함수에서 정적분 하고자 하는 구간을 작은 여러 개의 직사각형으로 분할하여, 그 작은 직사각형을 하나하나의 넓이를 더한다는 것을 의미한다. 여기서 n은 주어진 구간을 '몇 개로 나눈다는 것'을 의미하므로, n이 한없이 커진다는 것은 '한없이 많이 나눈다는 것'을 의미한다. 한없이 많이 나눈다면 그 하나하나의 구간의 길이는 아주 작아질 것이다.

 그렇다면 정적분은 왜 이와 같이 주어진 함수의 구간을 '아주 작아질 때'까지 나누는 과정을 하는 것일까? 이것을 이해하기 위해서는 구분구적법을 이해해야 한다. 구분구적법은 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하기 어려울 때, 구하는 방법을 알고 있는 작은 도형으로 분할하여, 그 작은 도형의 넓이나 부피를 각각 구하여, 그 값들을 합하여 근삿값을 구하는 방법이다. 이를 테면, 원의 넓이는 곡선이기 때문에 구하기 어렵지만 그것을 수없이 많은 작은 '삼각형과 같은 도형'으로 분할하여, 그 '삼각형과 같은 도형'의 넓이를 '삼각형'의 넓이를 구하는 방법으로 각각을 구하여, 그 값들을 합하여 원의 넓이의 근삿값을 구하는 것이 대표적인 예이다.

 주어진 함수 f(x)가 주어진 닫힌 구간 [a, b]에서 0이상의 값을 가질 때, 정적분의 값은 곡선 y=f(x)와 x축, 직선 x=a, 직선 x=b로 둘러싸인 도형의 넓이가 된다. 예컨대, f(x)=x이고, [0, 1]이라면 (0,0), (1,1), (1,0)을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형의 넓이 (1/2)이 된다. 이와 같이, 정적분은 주어진 함수가 일정 조건을 충족한다면 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 수 있다는 것을 알 수 있다.

 흔히, 적분을 좁게 '넓이를 구하는 것'이라고 정의를 하는데, 그것은 일정한 조건을 충족할 경우에 넓이를 구할 수 있기 때문이다. 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 수 있다는 사실을 두 곡선 사이의 넓이, 입체의 부피, 회전체의 부피 등으로 응용하여 여러가지 길이, 넓이, 부피를 구할 수 있다.

 이와 같이, 구간을 정하고 적분을 하는 주어진 함수의 해당 구간의 정적분의 값을 구하는 것이다. 여기서 정적분의 값은 해당 구간에서 0이상의 값을 가진다면 곡선과 x축 사이의 넓이를 의미하고, 이 사실은 나아가 여러가지 길이, 넓이, 부피를 구하는 방법이 된다.

 적분이라는 개념은 부정적분(원시함수)을 구하는 부정적분과 정적분의 값을 구하는 정적분이 있다는 것을 알았다. 또, 정적분의 값의 의미는 적분을 통해서 다양한 물리량을 측정할 수 있다는 것을 의미한다. 이러한 점을 통해 '적분'이라는 개념을 배우는 이유를 알 수 있다.


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미분의 정의
미분이란 무슨 뜻일까?

 '미분과 적분'에 대해 알아보기 위해, 수학책을 펼쳐보면 '극한', '연속성' 등에 대한 개념을 모두 하고나서야 비로소 '미분'에 관한 설명이 나타난다. 그래서 대개 '미분'이란 것이 도대체 무엇인지도 모르고 포기하기도 하고, '미분법'만 알고 미분을 하는 경우도 허다하다. 그렇다면 도대체 '미분'이 무엇이며, '미분'을 다룰 때 나오는 각 용어의 뜻과 각 용어 사이의 관계에 대해 알아보자.

 미분이란 어떤 함수 f(x)의 f'(x)를 구하는 것을 말하고, f'(x)를 구하는 여러가지 방법을 '미분법'이라고 말한다. 여기서 f'(x)를 도함수라고 한다. 도함수는


와 같이 정의할 수 있다.

 여기서 '도함수'란 무엇일까. 도함수의 정의를 보면 'h가 0에 가까워질 때, (x+h)일 때와 (x)일 때의 함숫값의 차이를 h로 나눈다'는 것을 의미한다. 이것은 기하학적으로 점 (x, f(x))와 점 (x+h, f(x+h))을 지나는 '직선의 기울기'가 된다. '기울기'는 'y좌표의 변화량'을 'x좌표의 변화량'으로 나눈 것을 의미하므로 'x값이 변할 때, y값이 얼마나 변하는지'에 관한 것이고, 이것은 '변화율'을 의미하게 된다.

 변화율이 무엇인지 알아보자. 우리는 흔히 '일정 시간 동안에 얼마나 운동 거리가 변했는지'를 측정하고 이것을 속도라고 한다. 속도에는 어느 정도 시간을 잰 후, 그 시간 동안 얼마나 움직이는지 관심을 가지고 '평균 속도'를 구할 수도 있겠지만, 어느 순간에 얼마나 움직이는지 관심을 가지고 '순간 속도'를 구할 수도 있다. 이와 마찬가지로 '변화량'의 경우에도 일정 정도의 x값이 변할 때, 어느 정도 y값이 변하는지에 관심을 가지고 '평균 변화율'를 구할 수도 있고, 어느 순간의 x값에서의 y값이 변하는지에 관심을 가지고 '순간 변화율'을 구할 수도 있다.

 이 둘 사이를 조금 더 분명하게 구분 짓자면, 평균변화율은 '어떤 구간'에서의 변화율을 보는 것이고, 순간변화율은 '어떤 순간'의 변화율로 보는 것이다. 한편, 평균변화율의 '어떤 구간'이 한없이 작아져서 0에 가깝다면 그것을 '어느 순간'이라고 볼 수 있다.

 평균변화율과 순간변화율의 정의를 비추어 본다면, '도함수'에서 나타내는 변화율은 '순간변화율'이 된다. 왜냐하면 점 (x, f(x))와 (x+h, f(x+h)) 사이의 x좌표의 변화량으로 h라는 '어떤 구간'이 존재하지만, 이 구간은 한 없이 작아지기 때문에 '어떤 순간'이라고 볼 수 있기 때문이다.

 이러한 순간변화율은 '미분계수'라고도 한다. 일반적으로 x=a에서의 미분계수는


와 같이 정의할 수 있다. '미분계수'에서 '계수'라는 표현은 영어식 표현인 'differential coefficient'에서 'coefficient'를 번역한 것이라서 '문자 이외의 부분'을 나타내는 통상적인 '계수'라는 뜻과는 다소 차이가 있다. 또, 미분계수는 '함수'의 개념이 아니라 어떤 값이라는 점도 유념해야 할 사항이다. 

 문득, 우리는 어떤 함수 f(x)의 도함수 f'(x)를 'x값이 주어지면, 주어진 x값에서의 미분계수를 가르쳐주는 함수'로 볼 수 있다는 것을 느끼게 된다. 이를 테면, f(x)=x라는 함수의 도함수는 f'(x)=1인데, 이를 통해 f(x)는 임의의 실수에 대해  미분계수로 1을 가진다는 사실을 알 수 있다. 도함수는 어떤 함수의 순간변화율, 즉 미분계수를 알려주는 함수로 볼 수 있다.

 한편, 기하학적으로 접선의 기울기의 정의에 의해, 어떤 함수 f(x)의 x=a에서의 순간변화율, 즉 미분계수는 x=a에서의 접선의 기울기를 의미하게 된다. 그렇기 때문에 도함수는 '주어진 함수의 각 지점에서의 접선의 기울기를 가르쳐 주는 함수'로도 볼 수 있다. 이러한 미분계수의 기하학적 의미로 인해서, 흔히 '미분은 그래프의 기울기를 구하는 것이고, 적분은 그래프의 넓이를 구하는 것이다.'라는 표현이 종종 사용된다.

 그렇다면 왜 우리는 도함수를 '도함수'라고 부를까. 기울기와 관련된 함수이기 때문에 각도를 의미하는 '도(度)'를 연상하기 쉽지만, 도함수에서 쓰는 '도(導)'는 '인도하다'라는 뜻이고, 흔히 '도출되다'라는 표현을 쓰일 때 쓰이는 글자다. 이것은 도함수의 영어식 표현인 'derived function'에서 'derived'에서 나온 것이다. 이는 '미분한 결과로 도출된' 식이라는 의미로 쓰인 것이다.

 이와 같이, 미분이라는 것은 '도함수를 구하는 것'이고, 도함수는 주어진 함수의 미분계수를 함숫값으로 가지는 함수라는 것을 알아 보았다. 특히, 미분 계수는 순간변화율이라는 의미 뿐만 아니라, 접선의 기울기를 의미하기 때문에 그 활용하는 범위가 대단히 넓다. 이런 점에서 우리가 '미분'이라는 개념을 배우는 이유를 알 수 있다.
[참고] 수학사랑 - '수학백과'  http://www.mathlove.kr/shop/mathlove/index.php 


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다항함수의 정의와 성질
함수가 '다항함수'일 때 어떤 성질을 가질까?

 미적분과 관련된 여러가지 문제를 풀다보면, 어떤 함수에 대해 '다항함수'라는 조건을 줄 경우가 있다. 그렇다면 '다항함수'란 무엇이며, 어떤 함수가 다항함수일 때 어떤 성질을 가지는지 알아보자.

 1. 다항함수의 정의 - 다항함수란 무엇인가

 '다항함수'란 무엇인지에 대한 정의를 내리기가 쉽지가 않다. '수학사랑'에 있는 '수학 백과'를 검색해보면


함수 y=f(x) 에서, f(x)가 x에 대한 다항식일 때 이 함수가 다항함수이다.

 와 같이 설명되어 있다. 이 설명을 통해 '다항함수'는 다항식을 통해 정의된다는 것을 알 수 있다.

 다항함수에 대한 개념을 온전히 이해하기 위해서는, '단항식', '다항식'에 관한 개념에 대한 이해가 필요하다. '단항식'이란 몇 개의 수나 문자의 곱으로 나타낸 식을 말한다. 이를 테면,

x

 는 단순한 단항식 중의 하나이다. 이러한 단항식은 하나의 항을 이룬다. 그리고 이러한 '항'이 여러 모인 것이 다항식이 된다.

 다항함수의 정의로부터, 어떤 함수를 다항함수로 본다면, 그 식은 어떤 문자를 중심으로 볼 것인지 정해야 한다. 그리고 이 함수는 수와 문자로 구성된 단순한 단항식이 연결된 다항식으로 구성되었다는 것을 기억해야 한다.

2. 최고차항의 존재 - 최고차항이 존재한다는 것을 기억하자.

 어떤 함수가 x에 관한 다항식이라면, 여러 항 중에서 가장 큰 차수를 가지는 항이 존재한다. 이 점을 이용해서, 최고차수를 모르는 다항식이 주어지면, 최고차수를 n이라고 두고, '등식의 성질'을 이용하여 n을 구하는 것을 생각해보자.

3. 내림차순으로 차순을 정렬 - 인수분해와 곱셈의 법칠을 이용하자.

 다항함수의 정의에서 '어떤 문자를 중심으로 볼 것인가'라는 것이 중요하다는 것을 알 수 있다. 이를 효과적으로 이용하기 위해서는 중심으로 보는 문자를 기준으로 차수를 내림차순으로 정렬할 필요가 있다.
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