미분의 정의

미분의 정의
미분이란 무슨 뜻일까?

 '미분과 적분'에 대해 알아보기 위해, 수학책을 펼쳐보면 '극한', '연속성' 등에 대한 개념을 모두 하고나서야 비로소 '미분'에 관한 설명이 나타난다. 그래서 대개 '미분'이란 것이 도대체 무엇인지도 모르고 포기하기도 하고, '미분법'만 알고 미분을 하는 경우도 허다하다. 그렇다면 도대체 '미분'이 무엇이며, '미분'을 다룰 때 나오는 각 용어의 뜻과 각 용어 사이의 관계에 대해 알아보자.

 미분이란 어떤 함수 f(x)의 f'(x)를 구하는 것을 말하고, f'(x)를 구하는 여러가지 방법을 '미분법'이라고 말한다. 여기서 f'(x)를 도함수라고 한다. 도함수는

와 같이 정의할 수 있다.

 여기서 '도함수'란 무엇일까. 도함수의 정의를 보면 'h가 0에 가까워질 때, (x+h)일 때와 (x)일 때의 함숫값의 차이를 h로 나눈다'는 것을 의미한다. 이것은 기하학적으로 점 (x, f(x))와 점 (x+h, f(x+h))을 지나는 '직선의 기울기'가 된다. '기울기'는 'y좌표의 변화량'을 'x좌표의 변화량'으로 나눈 것을 의미하므로 'x값이 변할 때, y값이 얼마나 변하는지'에 관한 것이고, 이것은 '변화율'을 의미하게 된다.

 변화율이 무엇인지 알아보자. 우리는 흔히 '일정 시간 동안에 얼마나 운동 거리가 변했는지'를 측정하고 이것을 속도라고 한다. 속도에는 어느 정도 시간을 잰 후, 그 시간 동안 얼마나 움직이는지 관심을 가지고 '평균 속도'를 구할 수도 있겠지만, 어느 순간에 얼마나 움직이는지 관심을 가지고 '순간 속도'를 구할 수도 있다. 이와 마찬가지로 '변화량'의 경우에도 일정 정도의 x값이 변할 때, 어느 정도 y값이 변하는지에 관심을 가지고 '평균 변화율'를 구할 수도 있고, 어느 순간의 x값에서의 y값이 변하는지에 관심을 가지고 '순간 변화율'을 구할 수도 있다.

 이 둘 사이를 조금 더 분명하게 구분 짓자면, 평균변화율은 '어떤 구간'에서의 변화율을 보는 것이고, 순간변화율은 '어떤 순간'의 변화율로 보는 것이다. 한편, 평균변화율의 '어떤 구간'이 한없이 작아져서 0에 가깝다면 그것을 '어느 순간'이라고 볼 수 있다.

 평균변화율과 순간변화율의 정의를 비추어 본다면, '도함수'에서 나타내는 변화율은 '순간변화율'이 된다. 왜냐하면 점 (x, f(x))와 (x+h, f(x+h)) 사이의 x좌표의 변화량으로 h라는 '어떤 구간'이 존재하지만, 이 구간은 한 없이 작아지기 때문에 '어떤 순간'이라고 볼 수 있기 때문이다.

 이러한 순간변화율은 '미분계수'라고도 한다. 일반적으로 x=a에서의 미분계수는

와 같이 정의할 수 있다. '미분계수'에서 '계수'라는 표현은 영어식 표현인 'differential coefficient'에서 'coefficient'를 번역한 것이라서 '문자 이외의 부분'을 나타내는 통상적인 '계수'라는 뜻과는 다소 차이가 있다. 또, 미분계수는 '함수'의 개념이 아니라 어떤 값이라는 점도 유념해야 할 사항이다. 

 문득, 우리는 어떤 함수 f(x)의 도함수 f'(x)를 'x값이 주어지면, 주어진 x값에서의 미분계수를 가르쳐주는 함수'로 볼 수 있다는 것을 느끼게 된다. 이를 테면, f(x)=x라는 함수의 도함수는 f'(x)=1인데, 이를 통해 f(x)는 임의의 실수에 대해  미분계수로 1을 가진다는 사실을 알 수 있다. 도함수는 어떤 함수의 순간변화율, 즉 미분계수를 알려주는 함수로 볼 수 있다.

 한편, 기하학적으로 접선의 기울기의 정의에 의해, 어떤 함수 f(x)의 x=a에서의 순간변화율, 즉 미분계수는 x=a에서의 접선의 기울기를 의미하게 된다. 그렇기 때문에 도함수는 '주어진 함수의 각 지점에서의 접선의 기울기를 가르쳐 주는 함수'로도 볼 수 있다. 이러한 미분계수의 기하학적 의미로 인해서, 흔히 '미분은 그래프의 기울기를 구하는 것이고, 적분은 그래프의 넓이를 구하는 것이다.'라는 표현이 종종 사용된다.

 그렇다면 왜 우리는 도함수를 '도함수'라고 부를까. 기울기와 관련된 함수이기 때문에 각도를 의미하는 '도(度)'를 연상하기 쉽지만, 도함수에서 쓰는 '도(導)'는 '인도하다'라는 뜻이고, 흔히 '도출되다'라는 표현을 쓰일 때 쓰이는 글자다. 이것은 도함수의 영어식 표현인 'derived function'에서 'derived'에서 나온 것이다. 이는 '미분한 결과로 도출된' 식이라는 의미로 쓰인 것이다.

 이와 같이, 미분이라는 것은 '도함수를 구하는 것'이고, 도함수는 주어진 함수의 미분계수를 함숫값으로 가지는 함수라는 것을 알아 보았다. 특히, 미분 계수는 순간변화율이라는 의미 뿐만 아니라, 접선의 기울기를 의미하기 때문에 그 활용하는 범위가 대단히 넓다. 이런 점에서 우리가 '미분'이라는 개념을 배우는 이유를 알 수 있다.

[참고] 수학사랑 - '수학백과'  http://www.mathlove.kr/shop/mathlove/index.php