조건의 정의

조건의 정의 condition

수학에서 '조건'이란 무슨 뜻일까?

 '가장 작은 자연수란 무엇인가?'라는 문제를 푸는 상황이 주어졌다고 하자. 이 문제를 해결하는 데에 있어서, '-1은 1보다 작다.'라든지, '1은 2보다 크다.'와 같은 명제는 그 명제 자체가 참인지 거짓인지를 떠나서 필요하지 않은 명제이다. 반면, '1은 가장 작은 자연수이다'라든지 '2는 가장 작은 자연수이다'와 같은 명제는 그것이 참인지 거짓인지 판단해야 하는 명제이다. 그렇다면 n가 자연수를 가진다고 하고, 'n은 가장 작은 자연수이다.'라는 문장을 만든다면 '가장 작은 자연수란 무엇인가?'라는 문제를 푸는 데 필요한 문장을 나타낼 수 있다. 이와 같은 문장을 '조건'이라고 한다. 그렇다면 조건이라 무엇이며, 조건은 명제와 어떤 관계인지 알아보자.

 '조건'이란 x나 n과 같은 미지수를 포함하고 있어서, 그 미지수의 값에 따라 참인지 거짓인지 여부가 결정되는 문장이고, 보통 p(x), q(x), r(x)와 같ㅌ이 나타낸다. 가령 위에서 살펴본 'n은 가장 작은 자연수이다.'라는 문장은 n에 어떤 자연수를 대입함으로써, 참인지 거짓인지 결정되는 문장이다. 이를 테면, n에 1을 대입하면 '1은 가장 작은 자연수이다.'라는 참인 명제가 되지만, n에 2를 대입한다면 '2는 가장 작은 자연수이다.'라는 거짓인 명제가 된다. 이와 같이, 조건은 조건에 포함된 미지수가 어떤 값을 가지느냐에 따라서 참인 명제가 되기도 하고, 거짓인 명제가 되기도 한다.

 조건은 조건에 포함된 미지수의 값이 정해지지 않았다면, 참인지 거짓인지 판단할 수 없기 때문에, 명제가 아니다. 명제는 조건이 포함한 미지수에 어떤 값을 대입해서 나타난 한 가지 경우이므로 참과 거짓을 판단할 수 있지만, 조건은 조건이 포함한 미지수에 값을 대입함에 따라 여러 양상의 명제가 나타나는 경우이므로 참과 거짓을 판단할 수 없다. 이러한 명제와 조건의 차이는 기호를 이용하면 단적으로 나타나는데, '조건 p(x)에 대해서, x=a인 경우를 대입하면 명제 p(a)가 나타난다'가 그러한 차이를 알 수 있는 대표적인 예이다.

 조건을 함수의 개념으로 해석할 수 있다. 조건이 포함하고 있는 미지수 x에 대입할 수 있는 모든 값을 포함하는 집합 U를 정의역으로 보고, {참, 거짓}을 공역으로 본다면, 조건 p(x)를 '정의역 U에 포함된 원소 a에 대해서, 명제 p(a)가 참이면 '참'에, 거짓이면 '거짓'에 대응하는 함수'로 볼 수 있다. 앞서 살펴본 'n은 가장 작은수이다.'라는 조건에 대해 이러한 해석을 적용해 보자. 이 때, 정의역 U는 자연수 전체 집합이 되고, 공역은 {참, 거짓}이 된다. 이 때, n은 1인 경우, 즉 p(1)은 '참'에, n=2인 경우, 즉 p(2)는 '거짓'에 각각 대응된다.

 이상으로 '조건'이란 무엇이며 명제와 어떤 관계를 가지는지 알아보았다. 더불어, 조건에 적절한 정의역과 치역을 설정하여 조건을 함수의 개념으로 해석해 보았다.