적분의 정의 (정적분의 정의)

적분의 정의 (정적분의 정의)
적분이란 무슨 뜻일까?

 '적분'이 무엇인지 물으면 선뜻 대답하기 어렵다. 넓이를 구하는 것이라고 설명해야 할 것 같기도 하고, 미분에 대응하는 개념이라고 설명해야 할 것 같기도 하다. 이는 '적분'과 관련된 개념의 근본적인 의미를 파악하지 못하고, 적분과 관련된 개념이 사용되는 양상을 파악하는 데 그쳤기 때문이다. 적분과 관련된 기본적인 개념을 파악해보자.

 적분이란 부정적분이나 정적분의 값을 구하는 것을 말하고, 부정적분이나 정적분의 값을 구하는 과정을 '적분법'이라고 말한다. 표현을 할 때, 단순히 '주어진 함수를 적분한다'라는 표현을 쓴다면 그것은 주어진 함수의 부정적분을 구하는 것이고, 구간을 주어 '주어진 함수를 a에서 b까지 적분한다'라는 표현을 쓴다면 주어진 함수의 해당 구간의 정적분의 값을 구하는 것이다.

  '부정적분'에 대해 알아보자. 주어진 함수 f(x)의 부정적분을 구한다는 것은 주어진 함수 f(x)를 도함수로 가지는 함수 F(x)를 구하는 것을 말한다. 여기서 함수 f(x)와 함수 F(x)는 간단히

 와 같은 관계를 가졌다고 정리할 수 있다. 여기서 함수 F(x)는 함수 f(x)의 부정적분(원시함수)라고 표현한다. 부정적분이라는 표현은 주어진 함수에 대한 원시함수의 동의어를 말하기도 하고, 그 원시함수를 구하는 과정을 말하기도 한다.

 주어진 함수 f(x)에 대해서, 부정적분은 하나가 아니다. 직관적으로 함수 F(x)를 y축 방향으로 평행이동하여 만든 함수 G(x)는 기울기 변화에 있어서는 원래 함수인 F(x)와 같기 때문에, 미분한 결과 역시 함수 F(x)와 같다는 것을 알 수 있다. 실제로 상수 C는 미분하여 0이 되기 때문에,

 와 같이 표현할 수 있다. 함수 F(x)가 함수 f(x)의 원시함수라고 한다면 상수 C에 대해, F(x)+C도 함수 f(x)의 부정적분이 된다는 것을 알 수 있다.

 주어진 함수 f(x)에 대해서 부정적분이 하나가 아니기 때문에, 함수 f(x)의 부정적분을 표현할 때에는 상수 C를 이용해서,

 와 같이 표현할 수 있다. 함수 f(x)는 적분을 하는 대상이기 때문에 피적분함수라고 부르고, 상수 C는 적분상수라고 부른다. 이와 같이, 구간을 정하지 않고 적분을 하는 것은 주어진 함수의 부정적분(원시함수)를 구하는 것이다.

 한편, 위의 동치를 나타내는 명제에서, 함수 f(x)의 부정적분 F(x)를 구한다는 것은 부정적분 F(x)를 미분하여 함수 f(x)를 구하는 것을 거꿀로 하면 된다는 것을 알 수 있다. 이를 통해서, '부정적분을 구한다'는 '미분을 역연산하는 것이다'라고 표현하는 것이 가능함을 알 수 있다.

 '정적분'에 대해 알아보자. a에서 b까지의 주어진 함수의 정적분의 값은

과 같은 무한급수이다. 이것을 간단하게 

 와 같이 나타내어 '정적분의 정의'라고 한다. (단, 여기서 a는 아랫끝, b는 윗끝이라고 말한다.)

 위 식에서 x_k와 Δx는 무엇을 의미할까? x_k와 Δx는 각각

와 같다. 이것은 적분하고자 하는 구간을 n개의 조각으로 나눈 것의 하나하나를 표현하기 위한 수단이라고 보면 된다. 

 Δx는 (b-a)를 n으로 나눈 것인데, 이것은 닫힌 구간 [a, b]의 구간의 길이 (b-a)를 n등분한 것이다. 조각 하나의 길이를 나타내는 것으로 보면 된다. x_k는 a에서 k개의 조각 길이만큼 더한 것이다. 이것은 k번째 조각의 위치를 나타내는 것으로 보면 된다. k=0일 때에는 적분을 시작하는 지점인 a를 나타내고, k=n일 때에는 적분을 마치는 지점인 b를 나타낸다는 것을 알 수 있다.

 정적분의 정의는 정적분과 무한급수 사이에 어떤 관계가 있는지 보여준다. 이러한 관계는 일상적인 상황에서 어떤 도형을 무한급수의 식으로 표현했을 때, 그 식을 다시 적분식으로 표현해서 값을 구하고자 할 때 요긴하게 쓸 수 있다. 실제 문제 상황에서 이 관계를 효과적으로 쓰기 위해서는 정적분의 정의가 어떻게 해서 나왔는지 파악하여, 식의 의미를 올바르게 파악할 필요가 있다.

 정적분의 정의의 하나하나를 살펴보자. 시그마 부호 안은 'k번째 조각의 함숫값'과 '조각 하나의 길이'를 곱한 것이다. 이것은 하나의 조각을 직사각형으로 보고 그 조각의 가로와 세로를 곱한 것이다. 이것은 주어진 함수에서 정적분 하고자 하는 구간을 작은 여러 개의 직사각형으로 분할하여, 그 작은 직사각형을 하나하나의 넓이를 더한다는 것을 의미한다. 여기서 n은 주어진 구간을 '몇 개로 나눈다는 것'을 의미하므로, n이 한없이 커진다는 것은 '한없이 많이 나눈다는 것'을 의미한다. 한없이 많이 나눈다면 그 하나하나의 구간의 길이는 아주 작아질 것이다.

 그렇다면 정적분은 왜 이와 같이 주어진 함수의 구간을 '아주 작아질 때'까지 나누는 과정을 하는 것일까? 이것을 이해하기 위해서는 구분구적법을 이해해야 한다. 구분구적법은 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하기 어려울 때, 구하는 방법을 알고 있는 작은 도형으로 분할하여, 그 작은 도형의 넓이나 부피를 각각 구하여, 그 값들을 합하여 근삿값을 구하는 방법이다. 이를 테면, 원의 넓이는 곡선이기 때문에 구하기 어렵지만 그것을 수없이 많은 작은 '삼각형과 같은 도형'으로 분할하여, 그 '삼각형과 같은 도형'의 넓이를 '삼각형'의 넓이를 구하는 방법으로 각각을 구하여, 그 값들을 합하여 원의 넓이의 근삿값을 구하는 것이 대표적인 예이다.

 주어진 함수 f(x)가 주어진 닫힌 구간 [a, b]에서 0이상의 값을 가질 때, 정적분의 값은 곡선 y=f(x)와 x축, 직선 x=a, 직선 x=b로 둘러싸인 도형의 넓이가 된다. 예컨대, f(x)=x이고, [0, 1]이라면 (0,0), (1,1), (1,0)을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형의 넓이 (1/2)이 된다. 이와 같이, 정적분은 주어진 함수가 일정 조건을 충족한다면 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 수 있다는 것을 알 수 있다.

 흔히, 적분을 좁게 '넓이를 구하는 것'이라고 정의를 하는데, 그것은 일정한 조건을 충족할 경우에 넓이를 구할 수 있기 때문이다. 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 수 있다는 사실을 두 곡선 사이의 넓이, 입체의 부피, 회전체의 부피 등으로 응용하여 여러가지 길이, 넓이, 부피를 구할 수 있다.

 이와 같이, 구간을 정하고 적분을 하는 주어진 함수의 해당 구간의 정적분의 값을 구하는 것이다. 여기서 정적분의 값은 해당 구간에서 0이상의 값을 가진다면 곡선과 x축 사이의 넓이를 의미하고, 이 사실은 나아가 여러가지 길이, 넓이, 부피를 구하는 방법이 된다.

 적분이라는 개념은 부정적분(원시함수)을 구하는 부정적분과 정적분의 값을 구하는 정적분이 있다는 것을 알았다. 또, 정적분의 값의 의미는 적분을 통해서 다양한 물리량을 측정할 수 있다는 것을 의미한다. 이러한 점을 통해 '적분'이라는 개념을 배우는 이유를 알 수 있다.