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 거듭제곱 급수(멱급수)란 일반적으로 실수 x와 수열 에 관하여,

와 같이 정의되는 수열을 말한다. 위 식에서 실수 x를 거듭제곱 급수의 밑이라고 하며, 위 식과 같이 밑이 x인 경우보다

와 같이, 밑이 (x-c)인 경우가 일반적인 식이다. 거듭제곱 급수의 밑은 거듭제곱 급수의 식에서 그것의 값을 정하는 변수의 역할을 한다. 여기서 실수 c를 거듭제곱 급수의 중심이라고 한다. 거듭제곱 급수의 밑이 중심과 같은 경우에 항상 수렴하므로, 거듭제곱 급수의 중심은 중심은 주어진 거듭제곱 급수가 언제 수렴하는지 알려주는 역할을 한다. 한편, 수열 은 거듭제곱 급수의 계수이다. 거듭제곱 급수의 계수는 거듭제곱 급수의 밑과 더불어 거듭제곱 급수의 값을 정하는 역할을 한다. (단, 이 글은 위의 식의 정의에 맞추어 서술하였다.)

 [참고] 거듭제곱 급수는 일반적으로 '멱급수(冪級數)'라고도 한다. 여기서, 멱(冪)이란 영어 표현에서 '거듭제곱'을 의미하는 'power'를 한자로 표기한 것이다.

 거듭제곱 급수의 밑에 실수 x를 대입하면, 거듭제곱 급수는 일종의 실수의 급수이다. 실수의 급수가 수렴하면 실수 집합의 함수로 볼 수 있는데, 거듭제곱 급수 역시 수렴하면 일종의 실수 집합의 함수로 볼 수 있다. 한편, 거듭제곱 급수의 계수가 실수이면 주어진 식은 일종의 항의 개수가 무수히 많은 다항식으로 볼 수도 있다.

 거듭제곱 급수를 실수 집합의 함수로 본다면, 수열 의 값에 관계 없이, 항상 그 그래프는 (0, a_0)을 지난다는 것을 알 수 있다. 이는 다시 말해서, 거듭제곱 급수는 x=0에서

와 같이 수렴한다는 것을 의미한다. 여기서, 은 거듭제곱 급수를 일종의 다항식으로 본다면, 상수항을 의미한다. 한편, 거듭제곱 급수에서 그것의 모든 계수가 1인 경우()는 일반적인 등비급수의 형태를 띤다. 즉, 등비급수는 거듭제곱 급수의 특수한 형태로 볼 수 있다.

 어떤 두 거듭제곱 급수가 서로 같다는 것(상등, )은, ∀n에 대하여, 이 성립한다는 것을 말한다.

 이와 같이, 거듭제곱 급수의 정의와 그에 대해 해석하는 방법, 그리고 두 거듭제곱 급수가 서로 같다는 것의 정의에 대하여 알아보았다.

 '급수'는 어떤 수열의 초항부터 무한번째 항까지를 더한 것을 말한다. 조화급수는 조화수열에 대한 (무한)급수인데, 조화수열 그 자체는 수렴하지만 조화급수는 발산한다는 점에서 급수의 수렴성과 관련된 반례로 종종 활용된다. 다만, 직관적으로 조화급수가 발산하는지 이해가 쉽지가 않다. 조화급수가 무엇이며, 조화급수가 발산하는 이유에 대해 알아보자.

 조화급수란 조화수열의 초항부터 무한번재항까지 항을 차례로 합의 기호 '+'로 연결한 식을 말한다. 조화급수의 대표적인 성질은 조화수열은 수렴함에 도 불구하고, 조화급수는 발산한다는 것이다. 이 성질은 다음과 같이 증명할 수 있다. 가장 간단한 조화급수가 발산함을 증명해보자.

[1] 이 발산함을 증명하시오.

 (증명) 주어진 급수는

와 같이 나타낼 수 있다. 위와 같이 표현함을 통해서, 주어진 급수는 무수히 많은 (1/2)의 합으로 나타낼 수 있다. 이를 통해서, 주어진 급수가 발산함을 알 수 있다. □

 위의 내용을 분모가 (a+n)인 경우로 확장하자.

[2] 이 발산함을 증명하시오.

 (증명) 주어진 식은 a>0인 경우만 의미가 있다. a≤0인 경우, 분모가 0이 되는 경우가 존재하기 때문이다.

 귀류법에 의해 증명하기 위해, 주어진 이 수렴한다고 가정하자. 다음과 같이

로 표현할 수 있다. 이를 정리하면, 

이 되어 좌변은 발산하고, 우변은 수렴하기 때문에 모순이 나타난다.

 주어진 급수가 수렴한다고 가정했을 때, 모순이 생기므로 주어진 급수는 발산함을 알 수 있다. □

 위의 내용을 분모가 (a+nd)인 경우로 확장하자.

[3] 이 발산함을 증명하시오.

(증명) 주어진 식은 a≠-dk인 경우(단, d는 자연수)만 의미가 있다. a=-dk인 경우, 분모가 0인 경우가 존재하기 때문이다.

귀류법에 의해 증명하기 위해, 주어진 이 수렴한다고 가정하자. 다음과 같이

로 표현할 수 있다.

 여기서, 모든 n에 대해서 a+nd>0인 경우, 라고 하면, 를 만족하는 ∃m이 존재한다. 다음 급수

는 발산한다. 비교판정법에 의해

도 발산한다.

 어떤 n에 대해서 a+nd<0인 경우, a+nd>0인 ∃n이 존재한다. 이 경우, 주어진 급수는

이 되어 발산한다. □

 이로써, 조화급수의 정의와 대표적인 성질인 모든 조화수열이 발산한다는 성질을 증명하였다.

조화평균이란 무엇이며, 조화수열이란 무엇인가?

 우리 일상생활에서 '평균'이라는 개념이 자주 사용된다. 평균에는 산술평균, 기하평균, 조화평균과 같이 다양한 평균이 있다. 실생활에서는 산술평균을 자주 사용하지만, 문제 상황에 따라서 그 역수의 조화평균을 사용하는 경우도 있다. 산술평균과 밀접한 연관이 있는 등차수열에 대해서, 양의 등차수열의 역수를 취해서 정의하는 조화수열도 사용된다. 조화평균과 조화수열에 관하여 알아보자.

 소수(素數)란 약수로 1과 자신만을 가지는 수이다. 소수는 우리말로 '씨가 되는 수'라는 뜻으로 '씨수'라는 표현을 쓰는데, 이로부터 소수는 의미상 모든 자연수를 표현하는 데에 있어서 '씨'가 된다는 것을 알 수 있다. 1보다 큰 모든 자연수는 모두 몇 개의 소인수로 나타내는 소인수 분해가 가능하다는 것을 통해 이 사실을 알 수 있다. 그렇다면 소수를 이용해서 모든 자연수를 표현하는 식을 만들어보자.

 가장 작은 소수 2부터 소수를 오름차순으로 정렬하여 만든 수열 를 생각해보자. 그 수열은

와 같다. 이와 같은 경우, 다음과 같은 식

이 성립한다. 위 식의 좌변은 1부터 차례대로 자연수를 더한 것이고, 우변은 가장 작은 소수의 거듭제곱의 합들을 모든 곱한 것이다.

 위 식이 성립하는지 알아보기 위해서는 우변의 식으로부터 모든 자연수를 표현할 수 있는지, 표현할 수 있다면 중복이 있는지를 알아보아야 한다. 먼저, 우변의 식으로 모든 자연수를 표현할 수 있다는 사실은 모든 자연수가 소인수분해가 가능하다는 것[산술의 기본정리]을 통해 알 수 있다. 이를 테면, 2와 같은 경우는 소인수로 2를 가지기 때문에,

와 같이 표현가능하다. 한편, 15와 같은 경우는 소인소로 3와 5를 가지기 때문에,

와 같이 표현가능하다.

 모든 자연수를 표현할 수 있다면, 중복이 되지 않는다는 사실은 모든 자연수는 순서를 고려하지 않고, 1을 제외한다면 1가지 방법으로만 소인수분해 가능하다는 것[소인수분해의 일의성(유일성)]을 통해 알 수 있다. 만약, 우변을 전개하는 과정에서 같은 자연수를 표현하는 조합이 2가지 이상 나타난다면 그것은 소인수분해의 일의성에 위배되는 것이기 때문이다.

 이로써, 소수의 거듭제곱의 합들을 통해서, 모든 자연수를 나타낼 수 있다는 것을 나타내는 식이 성립함을 알 수 있다.

경계와 관련된 개념은 왜 필요한가?

 여러 가지 그래프를 그리다 보면, 어떤 그래프는 어떤 값보다 커지지 않거나, 어떤 값보다 작아지지 않는 경우를 볼 수 있다. 그래프가 이러한 성격을 갖는 것에 대해 알아보자.

 함수 y=-(1/x)+1와 함수 y=log(x)의 그래프를 관찰해보자.

x∈[0,3]x∈[0,10]

 x가 작은 범위에서는 비슷한 양상으로 커진다.

 하지만 x∈[0,100]을 관찰해보면 다소 다른 양상이 나타난다.

x∈[0,100]x∈[0,100]

 x가 커질수록, 함수 y=-(1/x)+1은 어느 이상 커지지 않지만, 함수 y=log(x)은 계속 커진다.

 실제로, 함수 y=1을 그리면, 실제로 함수 y=log(x)가 y=1을 넘어서서 커진다는 것을 알 수 있다.

이와 달리, 함수 y=-(1+x)+1은

와 같은 관계가 성립하므로, y=1을 넘어서지 못한다.

 이로써, 함수의 그래프에 따라서, 계속 커지는 것도 있지만, 한편으로는 어떤 값보다 커지지 않는 것도 있다는 것을 알 수 있다. 또, 다른 어떤 함수의 그래프는 계속 작아지는 것도 있지만, 한편으로 어떤 값보다 작아지지 않는 것도 있다는 것을 알 수 있다.

 sine함수의 극한을 구하는 방법을 응용하면 tangent함수나 cosine함수에 대해서도 확장할 수 있다. 일반적인 삼각함수의 극한을 구하는 과정을 알아보자.

 다음과 같은 식

의 값이 1이라는 사실을 기하학적으로 증명하였다.

[참고] 삼각함수의 극한 (1) - sine함수의 극한

 위 식의 값이 1이라는 사실을 이용하여, 위 식의 역수의 값이 1이라는 사실이 성립함을

와 같이 증명할 수 있다.

 위 식의 값이 1이라는 사실을 이용하여, tangent함수에 대해서도 다음과 같은 사실이 성립함을

와 같이 증명할 수 있다.

 위 식의 역수도 1이라는 사실을 이용하여, 위 식의 역수의 값이 1이라는 사실이 성립함을

와 같이 증명할 수 있다.

cosine함수의 값은 x가 0으로 다가갈 때, 1이 되므로 sine함수와 tangent함수하고는 다른 양상이 나타난다. cosine함수의 경우는 (1-cos(x))의 값이, x가 0으로 다가갈 때, 1이 된다는 사실을 통해서 cosine함수에 대해서 다음과 같은 사실이 성립함을

와 같이 증명할 수 있다. (위 식도 sine함수와 tangent함수와 같은 원리로 역수인 경우도 성립한다.)

 삼각함수의 극한의 값을 위와 같은 원리로 구할 때, 다항함수의 차수(위의 경우 'x'의 차수)에 유의해야 한다. 위의 원리를 이용한다면, sine함수와 tangent함수의 경우는 차수가 1인 반면, cosine함수인 경우는 차수가 2이기 때문이다.

 이와 같이, sine함수의 극한의 기본적인 모양을 이용하여, sine함수, cosine함수와 tangent함수의 값을 구할 수 있다. 다만, 값을 구하는 과정에서 삼각함수에 따라서, 그에 상응하는 다항함수의 차수가 다르다는 점을 유념해야 한다.