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함수의 속성 (1) - 일대일 / 대응 / 일대일 대응

[전사/단사/전단사]

함수의 속성 중에서 일대일/대응과 관련된 개념에 대해 알아보자.

 수학자 칸토어는 무한의 크기를 비교하는 과정에서 두 무한집합의 원소를 대응시키는 방법을 통해서 비교하였다. 이와 같이, 두 집합의 원소를 대응하는 양상이 어떤 것인지, 정의역의 원소가 치역의 원소에 일대일로 연결이 되는지는 함수를 이해하는 데에 대단히 중요하다.

 <일대일>

 어떤 함수가 일대일(one-to-one, injective)이라는 것은 그 함수의 공역의 모든 원소에 대응하는 정의역의 원소가 하나 이하라는 것이다. 어떤 함수가 일대일이라는 속성을 가지면 주어진 원소 사이에

와 같은 관계가 성립한다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다.

<대응>

 어떤 함수가 대응(correspondence, surjective)이라는 것은 그 함수의 모든 공역의 원소 중에서 정의역에 대응되지 않는 원소가 없다는 것이다. 어떤 함수가 대응이라는 속성을 가지면 공역과 치역이 같다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다.

<일대일 대응>

 어떤 함수가 일대일 대응(one-to-one correspondence, bijective)이라는 것은 그 함수가 일대일이라는 속성과 대응이라는 속성을 동시에 만족시키는 것이다. 즉, 그 함수의 모든 공역의 원소에 대응하는 원소가 하나씩만 존재한다는 것이다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다. 일대일 대응이라는 속성을 가지는 함수의 대표적인 성질은 역함수를 가진다는 것이다.

 [참고] 어떤 함수가 '일대일'의 속성을 가지면 '단사(單射)', '대응'의 속성을 가지면 '전사(全射)', '일대일'의 속성과 '대응'의 속성을 동시에 가지면 '전단사(全單射)'라고 표현하기도 한다.

<수평선 검사>

 수평선 검사(Horizontal Line test)란 주어진 함수가 일대일 대응인지 확인하는 방법으로, 함수 f가 x에 관한 y의 함수라면 x축과 수평선을 그었을 때, 2번 이상 교차하는 수평선이 존재하지 않는다면 주어진 함수가 일대일 대응으로 판단하는 검사 방법이다. 다음과 같이,

y=x 단위원

두 가지 예를 살펴보자. y=x인 경우에는 어떤 수평선을 긋더라도 교점이 하나 이상 나타나지 않지만, 단위원의 경우에는 열린구간 (-1, 1)에서 수평선을 그을 경우 교점이 2개 나타난다. 이와 같이, 주어진 함수의 그래프에 수평선을 긋는 것을 통해서 주어진 함수가 일대일 대응인지 판단할 수 있다. 주어진 함수가 역함수를 가지기 위해서는 일대일 대응이어야 하는지 확인해야 하는데, 이러한 수평선 검사 방법은 해당 함수가 역함수를 가지는지 판단할 때, 큰 도움이 된다.

 이로써 함수의 대표적인 속성인 일대일과 대응에 관함 개념을 알아보았고, 이와 더불어 주어진 함수가 일대일 대응인지 알아보는 수평선 검사 방법을 알아보았다.

함수의 정의 function

정의역 / 치역 / 공역

함수란 무엇인가?

 함수를 '마법 상자'로 설명하는 경우가 있다. 함수라는 마법상자에 x라는 어떤 수를 넣을 경우에, 그에 상응하는 어떤 값이 나오기 때문에, 함수를 마법상자로 설명하는 것이다. 함수에 대해 자세히 알아보자.

<함수의 정의>

 함수란 두 변수 x, y에 대하여, x의 값이 정해지면 y의 값이 정해지는 관계를 말한다. 일반적으로 함수 f가 x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지는 관계에 있으면,

와 같이 표현한다.

<정의역/공역/치역>

 함수 f는 x의 값이 정해지면 y의 값을 정하는 관계에 있다고 하자.

 정의역(domain)이란 주어진 함수 f의 x의 값의 집합, 공역(codomain)은 주어진 함수의 y의 값의 집합이고 치역(range)은 주어진 함수의 함숫값 전체의 집합이다. 일반적으로

와 같이 표현한다. 위의 그림에서 함수 f는 x를 f(x)로 이은 선, 정의역은 집합 X, 공역은 집합 Y, 치역은 노란색 음영의 영역으로 표시되어 있다.

 치역은

와 같이 표현된다. 치역의 정의에 의해, 치역은 항상 공역의 부분집합이다.

 정의역이 X이고 공역이 Y인 함수는

와 같이 표현한다.

<함수가 정해지지 않는 경우>

 함수 f가 정의되지 않는 경우는 x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지는 관계를 나타내는데, x의 값이 정해져도 y의 값이 정해지지 않는 경우이다. x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지기 위해서는 정의역에 포함된 모든 x의 값에 대해서 y의 값이 1개씩 존재하는 경우이다. 그런데 정의역에 있는 어떤 x의 값에 대해서 y의 값이 1개로 정해지지 않는 경우[아예 없는 경우(0개)나 2개 이상인 경우]는 함수가 정의되지 않는다.

 이로써 함수의 정의, 정의역, 공역, 치역, 공역과 치역의 개념과 더불어 함수가 정의되지 않는 경우에 대해 알아보았다.

임계값 critical number (미적분학)
미적분학에서의 임계값이란 무엇인가?

롤의 정리 Rolle's Theorem

롤의 정리란 무엇인가?

 미분가능한 함수에는 어떤 성질이 있을까? 그 중 대표적인 성질 중 하나가 같은 함숫값을 가지는 두 지점이 존재하면, 그 사이에 미분계수가 0이 되는 지점이 존재한다는 것이다. 이러한 성질이 롤의 정리인데, 롤의 정리가 무엇이며 어떻게 증명하는지 알아보자.

 롤의 정리(Rolle's Theorem)란 함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속, 열린구간 (a, b)에서 미분가능하고 f(a)=f(b)이면,

을 만족하는 c가 열린구간 (a, b)에 존재한다는 것이다. 롤의 정리는 미분가능한 함수에서 함숫값이 같은 두 지점이 있다면, 그 사이에 임계값이 존재한다는 것을 의미한다. 롤의 정리는 일반적으로, 평균값 정리(Mean Value Theory, MVT)를 증명하는 데에 있어서 보조 정리로 활용된다.

 롤의 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 [1] 롤의 정리를 증명하시오.

 (증명) 함수 f가 상수함수인 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 증명하자.

 (1) 함수 f가 상수함수인 경우(f(x)=k)에는 열린구간 (a, b)의 임의의 지점에서 f'(x)=0이므로 주어진 조건을 만족시킨다.

 상수함수가 아닌 경우에는, 열린구간 (a, b)에서 f(x)>f(a)를 만족하는 x가 존재하거나, f(x)<f(a)를 만족하는 x가 적어도 하나 존재하게 된다.

 (2) 열린구간 (a, b)에서 f(x)>f(a)를 만족하는 x가 존재하는 경우에는 최대·최소 정리에 의해, 함수 f는 닫힌구간 [a, b]에서 최댓값이 존재한다.  f(a)=f(b)이므로, f(a)와 f(b)가 모두 최댓값이 아니므로, 이 최댓값은 열린구간 (a, b)에서도 최댓값이다. 함수 f의 최댓값이 되는 지점 중 하나를 x=c라 하자. x=c에서 극값을 가지고 미분가능하므로, 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0이다.

 (3) 열린구간 (a, b)에서 f(x)<f(a)를 만족하는 x가 존재하는 경우에는 최대·최소 정리에 의해, 함수 f는 닫힌구간 [a, b]에서 최솟값이 존재한다.  f(a)=f(b)이므로, f(a)와 f(b)가 모두 최솟값이 아니므로, 이 최솟값은 열린구간 (a, b)에서도 최솟값이다. 함수 f의 최솟값이 되는 지점 중 하나를 x=c라 하자. x=c에서 극값을 가지고 미분가능하므로, 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0이다.

 이상으로, 모든 경우에 대해서 롤의 정리가 성립함을 증명하였다. □

 이로써 롤의 정리가 무엇이며, 어떻게 증명하는지 알아보았다. 롤의 정리를 통해 미분가능한 함수의 대표적인 성질을 설명할 수 있는 동시에, 평균값 정리를 증명하는데 보조 정리로 활용되므로 상당히 의미가 있는 증명 방법이다.

결과, 사건, 표본공간 result, event, sample space

결과, 사건, 표본공간에 대해 알아보자

 우리는 흔히 '사건'이라는 말을 자주 사용한다. 수학에서도 '사건'이라는 용어를 사용하는데, 수학에서 말하는 사건은 일종의 집합 개념이다. 사건의 개념을 어떻게 집합으로 표현하는지 알아보자.

[참고] 시행의 정의

 <결과의 정의 / 사건의 정의>

 결과란 시행으로 인해 나타난 여러 가지 현상을 말하며, 사건이란 결과를 원소로 하는 집합을 말한다.

<사건이 일어나다>

 어떤 시행으로 나타난 결과 r로 인해서, 어떤 사건 E가 일어났다는 것은

가 성립하는 경우를 말한다. 반면, 어떤 사건 E가 일어나지 않았다는 것은

가 성립하는 경우를 말한다.

 <표본공간의 정의>

 표본공간이란 어떤 시행으로 나타날 수 있는 결과를 모두 포함하고 있는 집합을 말한다. 표본공간의 정의와 사건의 정의로부터, 사건을 표본공간의 부분집합으로 보아도 무방하다는 것을 알 수 있다.

 예컨대, '주사위를 던지다'는 시행이 있다고 하자. 그 시행에서 '눈금으로 i가 나오는 결과'를

와 같이 표현한다고 하자. 주어진 시행에서는 6가지 결과가 나타날 수 있고, 이들 결과를 원소로 하는 집합은 가지 존재할 수 있다는 것을 알 수 있다. 그 사건 중에서  를 '홀수가 나오는 사건', 를 '소수가 나오는 사건' 등 과 같이 의미를 부여할 수 있다.

 주어진 시행에서 결과

가 나타났다고 하자. 이 결과는

, 

이므로, '홀수가 나오는 사건'은 일어났지만, '수수가 나오는 사건'은 일어나지 않았음을 알 수 있다.

 주어진 시행에서 표본공간이란 나타날 수 있는 결과를 모두 포함하는 집합이므로,

와 같다. 정의로부터, 주어진 시행에서 나타나는 모든 사건은 표본공간의 부분집합임을 알 수 있다.

 이로써 어떤 시행으로부터 나타나는 결과, 사건과 표본공간의 정의에 대해 알아보고, 실제 사례를 통해 알아보았다.

[유의 사항] 위 포스트는 일반적으로 시행의 사건이나 표본공간을 정의하는 방식과 차이가 있고, 그 사항과 그와 방식으로 기술한 이유는 다음과 같다.

 1. 일반적으로 '시행의 결과' 대신 '근원사건'의 개념을 활용한다. 여기서, 근원집합이란 원소가 하나인 사건을 말하는 것인데, 그와 같이 정의하면 진작 사건이라는 집합의 원소에 대한 정의가 이루어지지 않기 때문에, '근원사건' 대신 '시행의 결과'의 개념으로 설명했다.

 1. 일반적으로 사건을 표본공간의 부분집합으로 정의한다. 여기서는 '시행의 결과'를 통해 사건과 표본공간을 정의한 이후에, 사건과 표본공간 사이의 관계를 일종의 기본 성질과 같은 방식으로 설명했다.

페르마의 정리 Fermat's Theorem
페르마의 정리란 무엇인가?

 어떤 함수가 극값을 가질 때에 어떤 성질을 가질까? 극값에서 접선을 그으면 가로축과 평행한 접선이 나타나는데, 이로 부터 극값의 미분계수는 0이 아닐까하는 생각이든다. 이러한 추측을 수학적으로 증명한 것이 페르마의 정리이다. 그렇다면 페르마의 정리에 대해 알아보자.

 

 페르마의 정리란 x에 관한 함수 가 x=c에서 극값을 가지고, 가 존재하면,

 

 

이 성립한다는 정리이다. 이 정리을 통해서, 어떤 구간에서 극값을 찾는 경우에는 이거나, 그 값이 존재하지 않는 지점만 확인하면 된다는 사실을 알 수 있다.

 

 [1] 페르마의 정리가 성립함을 증명하시오,

 

 (증명) x에 관한 함수 가 x=c에서 극댓값을 가지는 경우부터 증명하자.

 

 극댓값의 정의에 의해, 인 x가 c가까이에 존재한다. 이는 다시 말해서, 0에 아주 가까운 실수 h가 존재하여,

 

 

 

이 성립하도록 할 수 있다는 것이다.

 

 h>0인 경우, 양변을 h로 나누면,

 

 

이다. 우극한을 잡으면,

 

 

이다. 가 존재하므로,

 

 

이 성립한다.

 

 h<0인 경우, 같은 원리로 이다. 이고, 이므로 이 성립함으로, 증명하고자 하는 바가 증명되었다.

 

 함수 가 x=c에서 극솟값을 가지는 경우도 같은 원리로 증명할 수 있다. □

 

 이로써 페르마의 정리의 내용, 활용 방안과 증명 방법에 대해 알아보았다. (참고로, 페르마가 제시한 다른 정리와 구분하기 위해, 이 정리를 '페르마의 임계값 정리'라고도 한다.)

최댓값/최솟값, 극댓값/극솟값(극값)
최댓값/최솟값과 극댓값/극솟값(극값)의 정의에 대해 알아보자

급수 판정법 (4) - 거듭제곱근 판정법 (멱근 판정법)

일반항의 거듭제곱근을 통해 급수의 수렴 여부를 어떻게 알 수 있을까?

 직관적으로 어떤 급수의 거듭제곱근이 1보다 작다면 그 급수는 수렴할 것이고, 반대로 거듭제곱근이 1보다 크면 그 급수는 발산한다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 이러한 직관적인 사실을 수학적으로 어떻게 표현하는지 알아보자.

 거듭제곱근 판정법(멱근 판정법)이란 음이 아닌 실수로 이루어진 급수 에서, 극한값

이 존재한다면,   는

 (1) r<1인 경우는 수렴한다.

 (2) r>1인 경우는 발산한다.

와 같은 성질을 가진다는 것이다. 이러한 성질을 이용해서, 일반항의 거듭제곱근을 이용해서 주어진 급수의 수렴 여부를 알 수 있다.

[1] 거듭제곱근 판정법을 증명하시오.

 (증명) (1)을 먼저 증명하자. 실수 를   이 되도록 잡자.  이므로 n이 커질수록  은 실수 r에 가까워지고,

m<n인 ∀n에 대해서,  ()

와 같은 자연수 m이 존재한다. 주어진 급수는

와 같이 정리할 수 있어서, 수렴함을 알 수 있다.

 (2)의 경우를 증명하자. 실수 를  이 되도록 잡자. 이므로 n이 커질수록  은 실수 r에 가까워지고,

m<n인 ∀n에 대해서,  ()

와 같은 자연수 m이 존재한다. 주어진 급수는

와 같이 정리할 수 있어서, 발산함을 알 수 있다. (여기서, 이 1보다 크므로, 일반항 판정법에 의해 발산함을 알 수 있다.)

 이와 같이, 일반항의 거듭제곱근의 크기가 1보다 큰지에 따른 급수의 수렴 여부에 대해 알아보았다. □

 이로써 거듭제곱근 판정법의 정의와 그것에 대한 증명 방법을 알아보았다.