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 어떤 무한급수가 수렴하는지는 다양한 방법으로 판단할 수 있다. 그 중 그 급수의 일반항이 수렴하는지 여부를 확인하는 것이다. 그 일반항이 수렴하지 않는다면, 그 급수는 당연히 수렴하지 않을 것이다. 다만, 여기서 유의할 것은 역은 성립하지 않는다는 것이다. 이와 같은 사실이 '일반항 판정법'인데, 일반항 판정법에 대하여 알아보자.

 일반항 판정법이란 이 수렴할 때, 가 성립한다는 것이다. 이는 일반적인 급수가 수렴하는 경우에, 그것의 일반항은 반드시 0에 수렴한다는 것을 의미한다. 이러한 성질을 이용해서, 어떤 수열의 일반항이 0에 수렴하지 않는다면, 그 수열의 급수는 발산한다는 것을 알 수 있다.

 [1] 일반항 판정법을 증명하시오. 아울러, 그 역이 성립하는지도 알아보시오.

 (증명) 주어진 급수가 수렴한다면, 수렴하는 값이 존재하므로,

,

와 같다. 일반항은 두 급수의 차이로 나타낼 수 있으므로,

와 같다. 이로 부터, 일반항의 극한값이 0에 수렴함을 알 수있다.

 일반항 판정법의 역, 라고 해서, 는 수렴하지 않을 수 있다는 것이다. 이에 대한 대표적인 반례는 조화급수로, 일반항은 수렴하지만 그것의 급수는 수렴하지 않는다. (이와 관련된 증명은 '조화급수의 정의와 발산'에서 증명하였다.)

 이와 같이, 일반항 판정법을 증명하고, 그 역은 성립하지 않음을 증명하였다. □

 이로써 일반항판정법의 정의와 그것의 역이 성립하지 않는 사례에 대해 알아보았다.

 거듭제곱 급수(멱급수)란 일반적으로 실수 x와 수열 에 관하여,

와 같이 정의되는 수열을 말한다. 위 식에서 실수 x를 거듭제곱 급수의 밑이라고 하며, 위 식과 같이 밑이 x인 경우보다

와 같이, 밑이 (x-c)인 경우가 일반적인 식이다. 거듭제곱 급수의 밑은 거듭제곱 급수의 식에서 그것의 값을 정하는 변수의 역할을 한다. 여기서 실수 c를 거듭제곱 급수의 중심이라고 한다. 거듭제곱 급수의 밑이 중심과 같은 경우에 항상 수렴하므로, 거듭제곱 급수의 중심은 중심은 주어진 거듭제곱 급수가 언제 수렴하는지 알려주는 역할을 한다. 한편, 수열 은 거듭제곱 급수의 계수이다. 거듭제곱 급수의 계수는 거듭제곱 급수의 밑과 더불어 거듭제곱 급수의 값을 정하는 역할을 한다. (단, 이 글은 위의 식의 정의에 맞추어 서술하였다.)

 [참고] 거듭제곱 급수는 일반적으로 '멱급수(冪級數)'라고도 한다. 여기서, 멱(冪)이란 영어 표현에서 '거듭제곱'을 의미하는 'power'를 한자로 표기한 것이다.

 거듭제곱 급수의 밑에 실수 x를 대입하면, 거듭제곱 급수는 일종의 실수의 급수이다. 실수의 급수가 수렴하면 실수 집합의 함수로 볼 수 있는데, 거듭제곱 급수 역시 수렴하면 일종의 실수 집합의 함수로 볼 수 있다. 한편, 거듭제곱 급수의 계수가 실수이면 주어진 식은 일종의 항의 개수가 무수히 많은 다항식으로 볼 수도 있다.

 거듭제곱 급수를 실수 집합의 함수로 본다면, 수열 의 값에 관계 없이, 항상 그 그래프는 (0, a_0)을 지난다는 것을 알 수 있다. 이는 다시 말해서, 거듭제곱 급수는 x=0에서

와 같이 수렴한다는 것을 의미한다. 여기서, 은 거듭제곱 급수를 일종의 다항식으로 본다면, 상수항을 의미한다. 한편, 거듭제곱 급수에서 그것의 모든 계수가 1인 경우()는 일반적인 등비급수의 형태를 띤다. 즉, 등비급수는 거듭제곱 급수의 특수한 형태로 볼 수 있다.

 어떤 두 거듭제곱 급수가 서로 같다는 것(상등, )은, ∀n에 대하여, 이 성립한다는 것을 말한다.

 이와 같이, 거듭제곱 급수의 정의와 그에 대해 해석하는 방법, 그리고 두 거듭제곱 급수가 서로 같다는 것의 정의에 대하여 알아보았다.

 '급수'는 어떤 수열의 초항부터 무한번째 항까지를 더한 것을 말한다. 조화급수는 조화수열에 대한 (무한)급수인데, 조화수열 그 자체는 수렴하지만 조화급수는 발산한다는 점에서 급수의 수렴성과 관련된 반례로 종종 활용된다. 다만, 직관적으로 조화급수가 발산하는지 이해가 쉽지가 않다. 조화급수가 무엇이며, 조화급수가 발산하는 이유에 대해 알아보자.

 조화급수란 조화수열의 초항부터 무한번재항까지 항을 차례로 합의 기호 '+'로 연결한 식을 말한다. 조화급수의 대표적인 성질은 조화수열은 수렴함에 도 불구하고, 조화급수는 발산한다는 것이다. 이 성질은 다음과 같이 증명할 수 있다. 가장 간단한 조화급수가 발산함을 증명해보자.

[1] 이 발산함을 증명하시오.

 (증명) 주어진 급수는

와 같이 나타낼 수 있다. 위와 같이 표현함을 통해서, 주어진 급수는 무수히 많은 (1/2)의 합으로 나타낼 수 있다. 이를 통해서, 주어진 급수가 발산함을 알 수 있다. □

 위의 내용을 분모가 (a+n)인 경우로 확장하자.

[2] 이 발산함을 증명하시오.

 (증명) 주어진 식은 a>0인 경우만 의미가 있다. a≤0인 경우, 분모가 0이 되는 경우가 존재하기 때문이다.

 귀류법에 의해 증명하기 위해, 주어진 이 수렴한다고 가정하자. 다음과 같이

로 표현할 수 있다. 이를 정리하면, 

이 되어 좌변은 발산하고, 우변은 수렴하기 때문에 모순이 나타난다.

 주어진 급수가 수렴한다고 가정했을 때, 모순이 생기므로 주어진 급수는 발산함을 알 수 있다. □

 위의 내용을 분모가 (a+nd)인 경우로 확장하자.

[3] 이 발산함을 증명하시오.

(증명) 주어진 식은 a≠-dk인 경우(단, d는 자연수)만 의미가 있다. a=-dk인 경우, 분모가 0인 경우가 존재하기 때문이다.

귀류법에 의해 증명하기 위해, 주어진 이 수렴한다고 가정하자. 다음과 같이

로 표현할 수 있다.

 여기서, 모든 n에 대해서 a+nd>0인 경우, 라고 하면, 를 만족하는 ∃m이 존재한다. 다음 급수

는 발산한다. 비교판정법에 의해

도 발산한다.

 어떤 n에 대해서 a+nd<0인 경우, a+nd>0인 ∃n이 존재한다. 이 경우, 주어진 급수는

이 되어 발산한다. □

 이로써, 조화급수의 정의와 대표적인 성질인 모든 조화수열이 발산한다는 성질을 증명하였다.

조화평균이란 무엇이며, 조화수열이란 무엇인가?

 우리 일상생활에서 '평균'이라는 개념이 자주 사용된다. 평균에는 산술평균, 기하평균, 조화평균과 같이 다양한 평균이 있다. 실생활에서는 산술평균을 자주 사용하지만, 문제 상황에 따라서 그 역수의 조화평균을 사용하는 경우도 있다. 산술평균과 밀접한 연관이 있는 등차수열에 대해서, 양의 등차수열의 역수를 취해서 정의하는 조화수열도 사용된다. 조화평균과 조화수열에 관하여 알아보자.

 소수(素數)란 약수로 1과 자신만을 가지는 수이다. 소수는 우리말로 '씨가 되는 수'라는 뜻으로 '씨수'라는 표현을 쓰는데, 이로부터 소수는 의미상 모든 자연수를 표현하는 데에 있어서 '씨'가 된다는 것을 알 수 있다. 1보다 큰 모든 자연수는 모두 몇 개의 소인수로 나타내는 소인수 분해가 가능하다는 것을 통해 이 사실을 알 수 있다. 그렇다면 소수를 이용해서 모든 자연수를 표현하는 식을 만들어보자.

 가장 작은 소수 2부터 소수를 오름차순으로 정렬하여 만든 수열 를 생각해보자. 그 수열은

와 같다. 이와 같은 경우, 다음과 같은 식

이 성립한다. 위 식의 좌변은 1부터 차례대로 자연수를 더한 것이고, 우변은 가장 작은 소수의 거듭제곱의 합들을 모든 곱한 것이다.

 위 식이 성립하는지 알아보기 위해서는 우변의 식으로부터 모든 자연수를 표현할 수 있는지, 표현할 수 있다면 중복이 있는지를 알아보아야 한다. 먼저, 우변의 식으로 모든 자연수를 표현할 수 있다는 사실은 모든 자연수가 소인수분해가 가능하다는 것[산술의 기본정리]을 통해 알 수 있다. 이를 테면, 2와 같은 경우는 소인수로 2를 가지기 때문에,

와 같이 표현가능하다. 한편, 15와 같은 경우는 소인소로 3와 5를 가지기 때문에,

와 같이 표현가능하다.

 모든 자연수를 표현할 수 있다면, 중복이 되지 않는다는 사실은 모든 자연수는 순서를 고려하지 않고, 1을 제외한다면 1가지 방법으로만 소인수분해 가능하다는 것[소인수분해의 일의성(유일성)]을 통해 알 수 있다. 만약, 우변을 전개하는 과정에서 같은 자연수를 표현하는 조합이 2가지 이상 나타난다면 그것은 소인수분해의 일의성에 위배되는 것이기 때문이다.

 이로써, 소수의 거듭제곱의 합들을 통해서, 모든 자연수를 나타낼 수 있다는 것을 나타내는 식이 성립함을 알 수 있다.