Uno Laboratory

이상적분 (1) - 적분구간이 무한히 긴 경우

에이버리의 실험 (1948)

에이버리의 실험에 대해 알아보자

 그리피스의 실험을 통해서 생명체의 형질을 변화시키는 물질이 있다는 사실을 발견하였다. 에이버리는 생명체의 형질을 바꾸는 물질이 무엇인지 규명하기 위한 실험을 구성하였다. 그렇다면 에이버리의 실험에 대하여 알아보자.

[참고] 그리피스의 실험

<에이버리의 실험>
 에이버리(Avery, Oswald Theodore)는 가열하여 죽인 S형균의 추출물, 살아있는 R형균과 분해 대상이 다른 분해 효소를 바꾸어가며 쥐에 투입하여, 쥐가 생존하는지 여부를 관찰하는 실험을 하였다. 실험 내용을 요약하면

와 같다.

 (표에서 실험[1]은 가열해서 죽은(死) S형균, 살아있는(生) R형균과 탄수화물 분해 효소를 넣었을 때, 쥐가 죽었음[死]을 의미한다.)

 실험[1]~[4]에서 쥐가 죽은 사실로부터, S형 형질을 가지는 폐렴쌍구균이 나타났다는 것을 알 수 있다. 이로 부터, 탄수화물, 단백질, 지질, RNA는 형질 전환을 일으키는 물질이 아니라는 사실을 이끌어낼 수 있다.  왜냐하면 이들 물질 중에서 형질 전환을 일으키는 물질이 있었다면, 그 형질 전환을 일으키는 물질이 분해되어서, 살아있는 R형균이 형진 전환이 일어나지 않아서, 쥐가 생존하여있는 실험 결과가 나타나야 하기 때문이다.

 이와 반대로, 실험 [5]에서 쥐가 살아있는 사실로부터, S형 형질을 가지는 페렴쌍구균이 나타나지 않았다는 것을 알 수 있다. 이로 부터, 형질 전환을 시키는 물질이 DNA라는 사실을 이끌어 낼 수 있다. DNA가 형질 전환을 시키는 물질이었는데, DNA를 분해시키는 효소에 의해서 DNA가 분해가 되면서, 형질 전환이 일어났지 않았다는 해석이 가능하기 때문이다.

 이를 바탕으로, 에이버리는 살아있는 R형균의 '피막을 형성하는 유전자'를 R형 형질에서 S형 형질로 바꾸는 물질이 DNA라는 것을 추론하였다.

함수의 속성 (1) - 일대일 / 대응 / 일대일 대응

[전사/단사/전단사]

함수의 속성 중에서 일대일/대응과 관련된 개념에 대해 알아보자.

 수학자 칸토어는 무한의 크기를 비교하는 과정에서 두 무한집합의 원소를 대응시키는 방법을 통해서 비교하였다. 이와 같이, 두 집합의 원소를 대응하는 양상이 어떤 것인지, 정의역의 원소가 치역의 원소에 일대일로 연결이 되는지는 함수를 이해하는 데에 대단히 중요하다.

 <일대일>

 어떤 함수가 일대일(one-to-one, injective)이라는 것은 그 함수의 공역의 모든 원소에 대응하는 정의역의 원소가 하나 이하라는 것이다. 어떤 함수가 일대일이라는 속성을 가지면 주어진 원소 사이에

와 같은 관계가 성립한다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다.

<대응>

 어떤 함수가 대응(correspondence, surjective)이라는 것은 그 함수의 모든 공역의 원소 중에서 정의역에 대응되지 않는 원소가 없다는 것이다. 어떤 함수가 대응이라는 속성을 가지면 공역과 치역이 같다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다.

<일대일 대응>

 어떤 함수가 일대일 대응(one-to-one correspondence, bijective)이라는 것은 그 함수가 일대일이라는 속성과 대응이라는 속성을 동시에 만족시키는 것이다. 즉, 그 함수의 모든 공역의 원소에 대응하는 원소가 하나씩만 존재한다는 것이다. 이를 그림으로 나타내면,

와 같다. 일대일 대응이라는 속성을 가지는 함수의 대표적인 성질은 역함수를 가진다는 것이다.

 [참고] 어떤 함수가 '일대일'의 속성을 가지면 '단사(單射)', '대응'의 속성을 가지면 '전사(全射)', '일대일'의 속성과 '대응'의 속성을 동시에 가지면 '전단사(全單射)'라고 표현하기도 한다.

<수평선 검사>

 수평선 검사(Horizontal Line test)란 주어진 함수가 일대일 대응인지 확인하는 방법으로, 함수 f가 x에 관한 y의 함수라면 x축과 수평선을 그었을 때, 2번 이상 교차하는 수평선이 존재하지 않는다면 주어진 함수가 일대일 대응으로 판단하는 검사 방법이다. 다음과 같이,

y=x 단위원

두 가지 예를 살펴보자. y=x인 경우에는 어떤 수평선을 긋더라도 교점이 하나 이상 나타나지 않지만, 단위원의 경우에는 열린구간 (-1, 1)에서 수평선을 그을 경우 교점이 2개 나타난다. 이와 같이, 주어진 함수의 그래프에 수평선을 긋는 것을 통해서 주어진 함수가 일대일 대응인지 판단할 수 있다. 주어진 함수가 역함수를 가지기 위해서는 일대일 대응이어야 하는지 확인해야 하는데, 이러한 수평선 검사 방법은 해당 함수가 역함수를 가지는지 판단할 때, 큰 도움이 된다.

 이로써 함수의 대표적인 속성인 일대일과 대응에 관함 개념을 알아보았고, 이와 더불어 주어진 함수가 일대일 대응인지 알아보는 수평선 검사 방법을 알아보았다.

함수의 정의 function

정의역 / 치역 / 공역

함수란 무엇인가?

 함수를 '마법 상자'로 설명하는 경우가 있다. 함수라는 마법상자에 x라는 어떤 수를 넣을 경우에, 그에 상응하는 어떤 값이 나오기 때문에, 함수를 마법상자로 설명하는 것이다. 함수에 대해 자세히 알아보자.

<함수의 정의>

 함수란 두 변수 x, y에 대하여, x의 값이 정해지면 y의 값이 정해지는 관계를 말한다. 일반적으로 함수 f가 x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지는 관계에 있으면,

와 같이 표현한다.

<정의역/공역/치역>

 함수 f는 x의 값이 정해지면 y의 값을 정하는 관계에 있다고 하자.

 정의역(domain)이란 주어진 함수 f의 x의 값의 집합, 공역(codomain)은 주어진 함수의 y의 값의 집합이고 치역(range)은 주어진 함수의 함숫값 전체의 집합이다. 일반적으로

와 같이 표현한다. 위의 그림에서 함수 f는 x를 f(x)로 이은 선, 정의역은 집합 X, 공역은 집합 Y, 치역은 노란색 음영의 영역으로 표시되어 있다.

 치역은

와 같이 표현된다. 치역의 정의에 의해, 치역은 항상 공역의 부분집합이다.

 정의역이 X이고 공역이 Y인 함수는

와 같이 표현한다.

<함수가 정해지지 않는 경우>

 함수 f가 정의되지 않는 경우는 x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지는 관계를 나타내는데, x의 값이 정해져도 y의 값이 정해지지 않는 경우이다. x의 값이 정해질 때, y의 값이 정해지기 위해서는 정의역에 포함된 모든 x의 값에 대해서 y의 값이 1개씩 존재하는 경우이다. 그런데 정의역에 있는 어떤 x의 값에 대해서 y의 값이 1개로 정해지지 않는 경우[아예 없는 경우(0개)나 2개 이상인 경우]는 함수가 정의되지 않는다.

 이로써 함수의 정의, 정의역, 공역, 치역, 공역과 치역의 개념과 더불어 함수가 정의되지 않는 경우에 대해 알아보았다.

그리피스의 실험 (1928)

DNA가 유전물질인 이유

DNA가 유전물질로 규명된 이유는 무엇일까?

 생명체 내에는 다양한 물질이 존재하는데, 유전 물질의 역할을 하는 것은 DNA이다. 그런데 처음부터 DNA가 유전물질로 확인된 것은 아니다. 단백질은 생명체 내에서 그 수가 많고, 다양한 아미노산으로 다양한 조합을 만들 수 있다는 점에서, 생물학자는 유전물질로 단백질로 꼽는 경우가 많았다. 그렇다면 DNA가 유전물질인 이유에 대해 알아보자.

 <간접적인 증거>

 DNA가 유전물질임을 직접적으로 규명하는 실험과 이론도 존재하지만, DNA가 유전물질임을 간접적으로 알 수 있는 여러 가지  증거가 존재한다. 이러한 '간접적인 증거'는 그 사실이 성립한다고 DNA가 유전물질이라는 것이 확인되는 것은 아니지만, DNA가 유전물질인 경우에 그 사실이 설명이 잘 된다는 점에서 DNA가 유전물질임을 이해하는 데에 큰 도움이 된다.

 한 생명체 안에 존재하는 모든 체세포가 가지는 DNA량은 동일하다. 식물이든 동물이든 그 생명체 안에 존재하는 체세포는 그 핵에 동일한 양의 DNA량을 가진다. 이 사실은 DNA가 모든 생명체가 가지는 물질이라는 점, 형질을 발현하는 데 필요한 물질을 모든 세포가 공통적으로 가진다는 점에서 DNA가 유전물질이라는 간접적인 증거가 될 수 있다.

 감수분열이 일어나기 때문에, 체세포에 존재하는 DNA량은 생식세포에 존재하는 DNA량의 2배이다. 이러한 특성을 바탕으로, 체세포 안에서의 DNA량은 세대를 거듭하여도 그 양이 일정하다는 점에서 DNA가 유전물질이라는 간접적인 증거가 될 수 있다.

 자외선을 생물에 비추면 유전물질에 변화가 일어나서 돌연변이가 생겨난다. 이 때, 생물이 돌연변이가 가장 잘 나타나도록 하는 자외선의 파장의 값과 DNA가 가장 잘 흡수하는 자외선의 파장이 약 260nm로 동일하다. 이러한 실험 결과를 260nm의 파장에서 DNA가 자외선을 가장 잘 흡수하기 때문에, 돌연변이가 가장 잘 나타난다는 추론을 할 수 있다. 이러한 추론을 바탕으로 DNA가 유전물질이라는 간접적인 증거를 이끌어 낼 수 있다.

 <직접적인 증거(실험적인 증거)>

 앞서서 알아본 '간접적인 증거'는 그 사실만으로는 DNA가 유전물질이라는 것을 확인할 수 없다. 그렇다면 DNA가 유전물질임을 확인할 수 있는 직접적인 증거에 대해서 알아보자. 직접적인 증거는 실험적인 증거로서 다음과 같이 3가지 대표적인 실험이 있다.

 * 그리피스의 실험(1928) : 형질 변환을 시키는 물질이 존재한다는 사실을 규명

 * 에이버리의 실험(1948) : DNA가 유전물질이라는 사실을 규명

 * 허시와 체이스의 실험(1952) : DNA가 유전물질이라는 사실을 규명

 이로써 DNA가 유전물질이라는 것에 대한 간접적인 증거와 직접적인 증거에 대해서 알아보았다.

임계값 critical number (미적분학)
미적분학에서의 임계값이란 무엇인가?

롤의 정리 Rolle's Theorem

롤의 정리란 무엇인가?

 미분가능한 함수에는 어떤 성질이 있을까? 그 중 대표적인 성질 중 하나가 같은 함숫값을 가지는 두 지점이 존재하면, 그 사이에 미분계수가 0이 되는 지점이 존재한다는 것이다. 이러한 성질이 롤의 정리인데, 롤의 정리가 무엇이며 어떻게 증명하는지 알아보자.

 롤의 정리(Rolle's Theorem)란 함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속, 열린구간 (a, b)에서 미분가능하고 f(a)=f(b)이면,

을 만족하는 c가 열린구간 (a, b)에 존재한다는 것이다. 롤의 정리는 미분가능한 함수에서 함숫값이 같은 두 지점이 있다면, 그 사이에 임계값이 존재한다는 것을 의미한다. 롤의 정리는 일반적으로, 평균값 정리(Mean Value Theory, MVT)를 증명하는 데에 있어서 보조 정리로 활용된다.

 롤의 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 [1] 롤의 정리를 증명하시오.

 (증명) 함수 f가 상수함수인 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 증명하자.

 (1) 함수 f가 상수함수인 경우(f(x)=k)에는 열린구간 (a, b)의 임의의 지점에서 f'(x)=0이므로 주어진 조건을 만족시킨다.

 상수함수가 아닌 경우에는, 열린구간 (a, b)에서 f(x)>f(a)를 만족하는 x가 존재하거나, f(x)<f(a)를 만족하는 x가 적어도 하나 존재하게 된다.

 (2) 열린구간 (a, b)에서 f(x)>f(a)를 만족하는 x가 존재하는 경우에는 최대·최소 정리에 의해, 함수 f는 닫힌구간 [a, b]에서 최댓값이 존재한다.  f(a)=f(b)이므로, f(a)와 f(b)가 모두 최댓값이 아니므로, 이 최댓값은 열린구간 (a, b)에서도 최댓값이다. 함수 f의 최댓값이 되는 지점 중 하나를 x=c라 하자. x=c에서 극값을 가지고 미분가능하므로, 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0이다.

 (3) 열린구간 (a, b)에서 f(x)<f(a)를 만족하는 x가 존재하는 경우에는 최대·최소 정리에 의해, 함수 f는 닫힌구간 [a, b]에서 최솟값이 존재한다.  f(a)=f(b)이므로, f(a)와 f(b)가 모두 최솟값이 아니므로, 이 최솟값은 열린구간 (a, b)에서도 최솟값이다. 함수 f의 최솟값이 되는 지점 중 하나를 x=c라 하자. x=c에서 극값을 가지고 미분가능하므로, 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0이다.

 이상으로, 모든 경우에 대해서 롤의 정리가 성립함을 증명하였다. □

 이로써 롤의 정리가 무엇이며, 어떻게 증명하는지 알아보았다. 롤의 정리를 통해 미분가능한 함수의 대표적인 성질을 설명할 수 있는 동시에, 평균값 정리를 증명하는데 보조 정리로 활용되므로 상당히 의미가 있는 증명 방법이다.