Uno Laboratory

경계의 개념 (1) [들어가기]

열의 이동 - 전도, 대류, 복사
열은 어떻게 이동할까?

 

 열은 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하는 에너지로, 열이 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동할 때에는 전도, 대류, 복사와 같은 방식으로 이동한다. 이러한 열이 이동하는 방식에 대해서 알아보자.

 

<전도> - 전도의 정의, 전도를 통한 열량 이동량 구하기, 양도체/부도체

 전도란 물질 내에서 분자가의 운동 에너지가 전달됨에 따라서, 열이 온도가 높은 곳에서 온도가 낮은 곳으로 이동하는 현상을 말한다. 분자 사이의 거리가 매우 짧기 때문에, 분자가 이동하는 과정에서 이웃한 분자와 충동함으로써 운동 에너지를 전달한다.

 

 전도에 의해 이동하는 열랑은 다음과 같이 구할 수 있다. 단면적 $A$, 길이 $l$인 금속 막대의 양 끝의 온도가 각각 $T_1$, $T_2$($T_1$>$T_2$)라면, 시간 $t$동안 이동한 열량 Q의 크기는

 

 

와 같다. 위 식에서 $k$는 열전도율을 나타내는 상수이며, 물질의 의 종류에 따라서 정해진다. 열전도율의 상수의 단위는 위 식으로 부터, J/m·s·K임을 알 수 있다. 양도체는 $k$의 값이 큰 물질, 즉 열전도율이 큰 물질을, 부도체는 $k$의 값이 작은 물질, 즉 열전도율이 작은 물질을 말한다.^[각주:1]

 

 한편, 위 식으로 부터, 전도되는 과정에서 이동하는 열량은 열전도율이 큰 물질일수록, 금속 막대의 단면적이 크고, 길이가 짧을수록, 시간이 오래지날수록, 온도 차이가 클수록 커진다는 것 을 알 수 있다.

 

 전도를 통해 이동하는 열량을 구하는 과정에서 금속 막대를 이용하여 사례를 든 것은 일반적으로 고체를 매개로 해서 일어나기 때문이다. 유체(액체, 기체)와 같은 경우는 이와 달리 대류를 통해서 일어난다.

 

<대류> - 대류의 정의와 사례

 대류란 구성하는 분자들이 밀도 차이에 의해 순환하는 과정에서 열이 이동하는 현상을 말하며, 주로 유체(액체, 기체)에서 일어난다. 대표적인 예로 지구 시스템에서 해류의 대순환(액체)과 대기의 대순환(기체)를 들 수 있다.

 

<복사> - 복사의 정의, 흑체, 슈테판-볼츠만의 법칙

 복사란 열이 중간 매질 없이 공간을 직접 이동하는 현상을 말하며, 복사 에너지란 복사를 통해 전달되는 열 에너지를 말한다.

 

 복사가 되는 정도는 물체의 표면의 성질과 온도에 따라서 달라져서, 복잡한 양상이 나타난다. 항상 복사 에너지를 완전히 흡수하는 물질을 가정하면, 열현상을 보다 쉽게 연구할 수 있다. 이런 이유로 가정한 물체가 흑체이다.

 

 흑체란 복사에너지를 완전히 흡수하는 물체이고, 흑체복사란 흑체에서 나타내는 복사를 말한다. 슈테판-볼츠만 법칙은 흑체복사에서 표면의 단면적에서 단위 시간 동안 방출하는 복사 에너지 E와 절대 온도 사이에

 

 

와 같은 간단한 관계가 있음을 나타내는 법칙이다. 여기서 σ는 슈테판-볼츠만 상수이다.

 

 이로써, 열이 온도가 높은 데에서 낮은 데로 이동하는 과정에서 전도, 대류, 복사의 과정을 통해서 이동한다는 사실과 그와 관련된 여러 가지 원리를 알아보았다.

 

지수함수/로그함수의 극한 (2) - e의 정의를 통해 구하기

e의 정의를 이용해서 지수함수와 로그함수의 극한을 어떻게 구할 수 있을까?

 sine곡선은 x=0 주변에서 y=x와 차이가 작다는 것에서, 두 함수의 비율에는 어떤 관계가 있는지 알아봄으로써 극한값을 구하였다. 지수함수와 로그함수도 이와 비슷한 원리로 구할 수 있지 않을까? 이를 위해서는 e의 정의를 이용하여 구할 수 있다.

<e의 정의>

 자연상수 e는

와 같이 정의된다. 위의 정의에 따라 구하면, e=2.71828...임이 알려져있다. 위의 식에서, x의 역수를 적용하면,

와 같이 구할 수 있다.

 x=0의 주위에서, y=sin(x)와 y=x의 값이 같다는 사실에서, 이들 함수의 극한값에 어떤 관계가 있는지 알아보았다. 이와 마찬가지로. x=0 주위에서, y=ln(1+x)와 y=x의 값 역시 x=0에서 같은데, 이들 함수의 극한값에도 어떤 관계가 있는지 알아보자.

<밑이 e인 경우>

 지수함수와 로그함수는 e의 정의를 적용하기 위해서, 밑이 e인 경우를 먼저 고려하자. 지수함수인 경우는

와 같이 구할 수 있다. 로그함수인 경우는 로 두면, 이 되어

와 같이 구할 수 있다.

<밑이 a인 경우>

 지수함수와 로그함수는 밑이 일반적인 a인 경우는 앞서 구한 것과 같은 원리로 구할 수 있다. 지수함수인 경우는

와 같이 구할 수 있다. 로그함수의 경우는 로 두면, 이 되어

와 같이 구할 수 있다.

 이와 같이, e의 정의를 이용해서 지수함수와 로그함수의 극한값을 구할 수 있다.

지수함수/로그함수의 극한 (1) - 기본적인 지수함수/로그함수

기본적인 지수함수와 로그함수의 극한을 어떻게 구할 수 있을까?

 지수함수와 로그함수는 정의역에서 연속함수이기 때문에, 지수함수와 로그함수의 극한은 그 함수의 그래프를 직접 관찰함으로써 구할 수 있다. 지수함수와 로그함수의 극한을 구하여 보자.

 지수함수의 그래프는 밑수 a의 값에 따라서, a>1인 경우와 0<a<1인 경우로 나누어서 그래프는

a∈[1,∞]인 경우a∈[0,1]인 경우

와 같이 나타난다. 이로 부터, a>1인 경우는

, 

와 같이 극한값을 구할 수 있다. 0<a<1인 경우는

, 

와 같이 극한값을 구할 수 있다.

 로그함수의 그래프는 밑수 a의 값에 따라서, a>1인 경우와 0<a<1인 경우로 나누어서 그래프는

a∈[1,∞]인 경우a∈[0,1]인 경우

와 같이 나타난다. 이로 부터, a>1인 경우는

, 

와 같이 극한값을 구할 수 있다. 0<a<1인 경우는

, 

와 같이 극한값을 구할 수 있다.

 이로써, 지수함수와 로그함수는 연속함수이기 때문에, 그래프를 통해서 극한값을 구할 수 있다.

삼각함수의 극한 (2) - 일반적인 삼각함수의 극한
일반적인 삼각함수의 극한을 어떻게 구할까?

삼각함수의 극한 (1) - sine함수의 극한

x=0 주위에서의 sine함수의 극한값은 어떤 양상일까?

 sine함수는 연속함수이기 때문에, 어떤 값에서의 sine함수의 극한값은 함숫값과 일치해서 무난하게 구할 수 있다. 다만, sine함수와 tangent함수, y=x함수를 x=0 주변에서 그려보면, 상당히 일치한다는 데에서, 이들 사이에 어떤 관계가 있지 않을까 하는 생각을 하게 된다. 과연 이들 함수는 x=0주변에서 어떤 관계가 있을까?

 다음과 같이, x=0에서 함수 y=sin(x), 함수 y=tan(x), 함수 y=x의 그래프를 같이 그리면, x=0에서 이들 값은 일치한다. 왼쪽 그림은 [-π/2,π/2]에서 함수의 그래프를, 오른쪽 그림은 [-π/8,π/8]에서의 그래프를 그린 것으로, 확대할수록 사실상 일치하는 그래프가 된다는 것을 알 수 있다.

[-π/2,π/2]에서의 그래프[-π/8,π/8]에서의 그래프

 이들 함수는 모두 원점을 지나기 때문에, x=0에서 함숫값은 일치한다. 함숫값만 일치하는 것이 아니라, x=0에 가까워지면 이들 극한값은 거의 같아져서, 같은 것으로 간주해도 될 정도가 되지 않을까 하는 생각이든다.

 위 추정은 다음과 같이 증명할 수 있다.

[1] 극한값 을 구하시오.

 (증명) 위 함수의 극한값은 삼각형과 부채꼴의 넓이 관계로 증명할 수 있다. 기하학적인 증명에서는 x>0인 경우부터 증명하는 것이 편하므로, 그 경우부터 다음과 같이 증명하자.

 위 그림에서 다음과 같은

넓이 관계가 성립한다. 위 넓이를 x와 r로 나타내고 정리하면,

와 같다. x>0에서, 이므로,

이고, 이에 역수를 취하면,

이 성립한다. 이면 이므로, 

와 같이, 극한값을 구할 수 있다. x가 0보다 큰 경우의 우극한값을 구하였다.

 x<0인 경우는

로 두고, 다음과 같이 정리하면, 

x<0인 경우도 성립함을 알 수 있다. x가 0보다 작은 경우의 좌극한값을 구하였다.

 우극한값과 좌극한값이 같으므로, 주어진 식의 극한값은 존재하고, 그 값은 1이다. □

 이로써, x=0 주변에서 sine함수와 y=x함수는 거의 일치한다는 것을 보였다. 이러한 관계는 삼각함수의 여러 극한값의 근간이 되는 중요한 관계식이다.

소수의 무한성

소수는 무한히 많다.

 소수(素數, prime number)는 몇 개나 있을까? 소수를 순서대로 나열하면, 소수의 출현하는 데에는 규칙성이 없을 뿐만 아니라, 그 간격도 상당히 커기 때문에, 얼핏 봐서는 소수는 유한 개밖에 없지 않을까하는 생각이 든다. 소수가 유한 개만 존재하는지, 아니면 무수히 많은지 알아보자.

 소수가 무수히 많은지 여부는 대표적인 귀류법의 증명 내용 중 하나이다. 귀류법으로 다음과 같이 증명할 수 있다.

[1] 소수가 무수히 많음을 증명하시오.

(증명) 귀류법에 의해 증명하기 위해, 소수가 작은 순서대로 와 같이 유한 개 존재하며, 가장 큰 소수 이 존재한다고 가정하자. 그런데 이들 소수를 모두 곱해서 1을 더한, 는 로 나누어 모두 나누어 떨어지지 않기 때문에, 약수를 1과 자기 자신만 가지는 수이므로, 소수이다. 보다 큰 소수 가 존재하기 때문에 주어진 가정은 모순이다.

 주어진 바를 부정하였을 때, 모순이 생기므로 귀류법에 의해, 소수는 무수히 많음이 증명되었다. □

 이와 같이, 소수가 무수히 많음을 알 수 있다.

[참고] 위 증명에서, 굳이 귀류법으로 증명을 해야 하는지에 대한 의문을 제기할 수 있다. 즉, 소수를 유한 개 존재한다는 가정이 필요한지에 대한 의문을 제기할 수 있다. 이 가정은 반드시 필요한데, 이는 이 소수라는 것을 규명하기 위해서는 그것보다 작은 소수를 제한해야 하기 때문이다. 이렇게 제한하지 않을 경우, 보다 크고 보다 작은 어떤 소수가 존재할 수 있는 가능성을 배제할 수 없기 때문이다. 이와 같은 가능성을 배제하지 않을 경우, 나타나는 반례가

이다. 종종 이 반례 자체가 귀류법 증명 자체의 반례로 오해하는 경우가 있지만, 귀류법의 가정이 올바르게 되었다면, 위와 같은 예가 있어도 주어진 바는 증명이 된다.

비열의 정의, 열용량의 정의

비열과 열용량이란 무엇일까?

 온도가 차이나는 두 물체 사이에는 열이 이동하고, 그 열의 양을 열량이라고 한다. 그렇다면 열량은 어떻게 구할 수 있을까? 이 물음을 해결하기 위해서는 열량을 결정하는 요인이 무엇인지 생각해 보아야 한다. 열량은 어떤 물질인지, 그리고 그 물질이 얼마나 많이 있는지, 어느 정도 온도가 변하는지에 따라서 결정된다. 이러한 개념을 나타내는 비열과 열용량에 대해 알아보자.

<비열>

 어떤 물질의 비열이란 그 물질 1kg의 온도를 1K 올리는 데 필요한 열량을 말한다. 비열의 단위는 열량을 일정한 질량과 온도에 대해서 구한 것이므로  J/kg·K나 kcal/kg·K를 사용한다. 또, '어떤 물질의 비열'이라고 한 것은 물질마다 비열의 크기가 다르기 때문이다. 비열은 물질마다 다르기 때문에 물질의 특성이 될 수 있다. 다만, 같은 물질이라도 상태에 따라 비열의 크기는 다르다. 예컨대, 물의 비열은 1.000J/kg·K인 반면, 얼음은 0.490J/kg·K이다. 또, 비열은 일반적으로 금속의 비열이 액체의 비열에 비해서 크다.

 비열이 크다는 것은 같은 물질의 온도를 1K 올리는 데 많은 열량이 필요하다는 것을 말한다. 이는 다시 말해서, 비열이 상대적으로 큰 물질은 상대적으로 온도를 올리기 어렵다는 것이다. 물은 다른 물질에 비해서 상대적으로 큰 비열의 값을 가지는데, 이는 물의 온도를 올리기 어려우며, 물의 온도는 잘 변하지 않는다는 의미를 가진다.

 이와 같이, 비열은 같은 양의 물질이 있을 때, 물질에 따라서 온도 변화가 일어나는 데에 필요한 열량을 나타내는 물리량이다.

<열용량>

 열용량이란 물체의 온도를 1K 올리는 데 필요한 열량을 나타낸다. 열용량은 어떤 물체가 Q(kcal)의 열량을 받아서, 온도가 Δt(K)만큼 상승하였을 때,

와 같다. 이로부터, 열용량의 단위는 1J/K 또는 1kcal/K를 사용한다는 것을 알 수 있다. 

 열용량은 물질의 종류에 따라서도 달라지지만, 물질의 양에 따라서도 달라진다. 같은 물질이라도 1kg의 물질의 온도를 1K올리는 데 드는 열량보다 2kg의 물질의 온도를 1K 올리는 데 드는 열량이 많이 든다. 즉, 같은 물질인 경우 질량이 커질수록 열용량은 커진다.

 이와 같이, 비열이 같은 물질인 경우, 열용량은 물질의 양에 따라서 온도 변화가 일어나는 데에 필요한 열량을 나타내는 물리량이다.

<비열과 열용량의 관계>

 열용량 C는 어떤 물질이 온도 변화가 일어나는 데에 필요한 열량을 그 물질의 비열 c과 그 물질의 질량 m으로 나타낸 것이므로, 열용량과 비열 사에이는 C=mc라는 관계를 가진다. 이를 다시, 열용량과 열량 사이의 관계식에 대입하면,

와 같다. 이 식으로부터, 질량이 m이고, 비열이 c인 어떤 물질을 온도를  Δt만큼 변화시키는 데에 필요한 열량을 나타낼 수 있다.

 위 식으로 부터 어떤 물질이 온도가 변화할 때 필요한 열량은, 질량이 클수록, 온도가 변화하는 정도가 클수록, 그 물질의 비열이 클수록 커진다는 것을 알 수 있다. 아울러, 열용량은 비열뿐만 아니라 질량의 영향을 받으므로, 서로 다른 물질인 경우에는 질량이 같더라도 열용량이 달라질 수 있다는 것을 알 수 있다.

<열량 보존의 법칙의 적용> - 물질의 비열 구하기

 비열을 모르는 어떤 물질의 비열을 어떻게 구할 수 있을까? 이는 열량 보존 법칙을 이용하여, 측정할 수 있다. 비열의 크기를 알고 있는 물질 A(질량 m_1, 비열 c_1, 온도 t_1)와 비열의 크기를 모르는 물질 B(질량 m_2, 비열c_2, 온도 t_2)을 섞어서(t_1>t_2), 온도 t에서 열평형을 이루었다고 하자. 그렇다면 열량 보존의 법칙에 의해서,

와 같은 관계가 성립한다는 것을 알 수 있다. 이로 부터, 비열의 크기를 모르는 물질 B의 비열 c_2를 구할 수 있다.

 이로써, 비열이란 무엇이며, 열용량이 무엇인지, 그리고 그 두 개념 사이의 관계, 그 관계를 넘어서 열량과 어떤 관계가 있는지 알아보았다. 그리고 이들 사이의 관계식이 의미하는 바도 살펴보았다. 나아가, 열량 보존의 법칙을 이용해서, 미지의 비열을 구하는 방법을 알아보았다.