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세포의 발견과 세포설
세포는 어떻게 발견이 되고 정의되었을까?

 우리들은 어떤 대상을 보게 되면, 그것을 구성하는 것이 무엇인지 궁금해한다. 물리학자는 어떤 운동을 관찰하면 그 운동을 일으키는 여러 가지 힘의 요소에 대해 의문을 제기하고, 화학자는 어떤 물질을 발견하면 그 물질을 구성하는 원소가 무엇인지에 대해서 의문을 제기한다. 마찬가지로, 생물학자 역시 생명체를 구성하는 기본 단위체가 무엇인지에 대해서 의문을 제기할 수 있다. 그렇다면 생명체의 기본 단위체가 무엇인지 알아보자.

 

 생물학자들의 그러한 고민은 생물체의 기본 단위체를 관찰할 수 있는 기술이 개발이 되어서야 해결되기 시작하였다. 1590년에 얀센(Jansen. Z., 네덜란드) 부자에 의해서 현미경이 개발된 것이 바로 생명체의 기본 단위체를 관찰할 수 있게 한 기술이다. 하지만 현미경 기술이 개발이 되자마자 세포가 발견된 것은 아니다.

 

 세포는 1665년에 '훅의 법칙'으로도 유명한 로버트 훅(Robert Hooke, 1635~1703)이 자신이 만든 현미경으로 코르크를 관찰하는 과정에서 발견되었다. 당시 훅이 관찰한 코르크는 죽은 식물세포이기 때문에 세포벽만 남은 상태의 것이었다. 그래서 코르크를 관찰한 훅은 세포는 감옥과 같이 여러 개의 작은 방으로 구성된 것으로 보았기 때문에 세포의 영어 이름은 '감방'을 뜻하는 cell로 이름지어졌다.

 

 훅에 의해 세포가 발견이 된 이후, 많은 종류의 동물과 식물도 세포로 구성되어 있다는 사실이 발견이 되었다. 사람들은 이러한 발견을 토대로 세포에 관한 특성을 정리한 세포설을 확립하였다. 세포설은 다음과 같은 내용이다.

 

 1. 모든 생물은 하나 또는 그 이상의 세포로 구성되어 있다.

 2. 세포는 모든 생물의 구조, 기능적 기본 단위이다.

 3. 세포는 살아 있는  세포로부터 만들어진다.

 

 세포설에서 1~2번은 생물과 세포 사이의 관계에 관한 것으로, 슐라이덴(Schleiden, Matthias Jakob, 1804~1881)과 슈반(Scgwabbm Anbrose Hubert Theidirm 1810~1882)이 동식물을 관찰한 결과를 토대로 주장한 것이다. 1838년에 슐라이덴이 식물에 관해서, 1839년에 슈반이 동물에 관해서 각각 위 세포설의 1~2번 부분을 발표하였다. 세포설에서 3번은 세포는 살아 있는 세포로부터 만들어진다는 것으로, 1855년에 피르호(Virchow, Tudolf, 1821~1902)에 의해 덧붙여진 것이다. 이와 같이, 3가지 사실로 세포설은 완성되었다.

 

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경우의 수 number of cases

경우의 수는 왜 구하는가?

 우리는 경우의 수를 구하는 다양한 방법을 배운다. 그렇다면 왜 우리는 경우의 수를 배우는 것일까? 그 이유는 산업시대 이전의 농경시대 때에도 여러가지 경우의 수를 구하는 과정을 상정해 볼 수 있다. 이를 테면, 다음과 같은 가상의 원시 농경 사회의 풍경을 살펴보자.

 일반인 A씨는 나무에서 열매를 따서 보관을 하였다. 하나하나 세면서 n개의 열매를 구했다는 것을 알게 되었다.[각주:1] 일반인 A씨는 자신의 마을에 사는 m명의 사람이 자신과 똑같이 n개의 열매를 구해서 마을 전체적으로 nm개의 열매를 구했다는 것도 알게 되었다.[각주:2] 일반인 A씨가 사는 마을의 족장은 이번에 구한 열매를 보관할 사람을 p명의 일반인 중에서 k명을 뽑아야 겠다고 생각하였다.[각주:3] 그런데 생각을 해보니, 유사시에 빠른 의사 결정을 하기 위해서는 열매를 보관하는 k명에 서로 다른 지위를 부여해야겠다는 생각도 들었다.[각주:4] 한편, k명을 뽑는 것은 좋지만 마을 사람들의 의견을 반영하기 위해서 p명의 일반인이 공객적으로 k명 중 자신의 믿음이 가는 사람을 지지해서 뽑기로 하였다.[각주:5] 그런데 k명을 뽑는 것도 좋지만 공개적인 지지를 꺼리는 사람을 위해서 무기명으로 k명 중 자신이 믿음이 가는 사람을 뽑는 선거를 실시하기로 했다.[각주:6]

 위 사례에서 알 수 있듯이, 우리는 일상생활에서 많은 의사 결정을 내리기 위해 은연중에 경우의 수를 다양한 방법(합의 법칙, 곱의 법칙, 조합, 순열 등)을 실생활에 적용하고 있음을 알 수 있다. (각 경우의 수를 구하는 방법은 각주를 통해 밝혀 두었다.)

 이러한 사례는 비단 옛 농경사회 뿐만 아니라, 현대 사회에도 마찬가지로 적용할 수 있다. 이를 테면, 우리는 일상 생활에 일어나는 다양한 사건을 상태공간트리(State Space Tree)를 이용해서 정리를 하고, 예상되는 경우의 수를 구해본다. 여기서 상태공간트리란 초기 상태의 사건에서 시작하여, 어떤 상태 A에서 다른 어떤 상태 B로 갈 수 있다면, 상태 A를 나타내는 노드와 상태 B를 나타내는 노드가 이어져 있는 트리를 말한다. 예컨대, 동전을 2번 던지는 경우에 대한 상태공간트리의 예는 다음과 같다.

상태공간트리의 예




 위 그림에서 알 수 있듯이, 초기상태로부터 나타날 수 있는 경우를 위와 같은 나무 형태로 정리하여 트리로 정리할 수 있다. 동전을 2번 던지는 경우에는 규칙성이 있기 때문에 위와 같은 트리로 정리하지 않더라도 전체 경우의 수를 구할 수 있지만, 규칙성을 알 수 없는 경우에는 위와 같은 트리 형태로 정리하는 것도 한 가지 방법이 될 수 있다.


 경우의 수는 확률을 구하는 데에도 이용할 수 있다. 확률은 대개 전체 경우의 수에서 그 문제 상황에서 주시하고 있는 상황에 대한 경우의 수의 비로 구할 수 있다. 가령, 복권이 당첨되는 확률은 복권에서 나타날 수 있는 전체 경우의 수에서 구입한 복권의 수가 당첨될 수 있는 확률이 된다는 것이 이에 대한 대표적인 사례가 될 수 있다. 경우의 수를 통해 확률을 구하는 것을 통해, 실생활에서 접하는 다양한 의사 결정 상황에서 적절한 선택을 하는 데에 도움을 받을 수 있다.


 정보과학(전산학)에서는 경우의 수를 활용해서, 알고리즘의 시간 복잡도나 공간 복잡도를 계산하는 데에 경우의 수의 개념을 많이 사용한다. 어떤 알고리즘의 시간 복잡도나 공간 복잡도란 간단하게 말하면 그 알고리즘을 구현한 프로그램이 자료의 크기 n이 주어졌을 때, 어느 정도의 연산 횟수가 필요하며(시간 복잡도), 그 연산을 하는 데에 어느 정도의 공간 저장이 필요한지(공간 복잡도)를 알아본 지표이다. 시간 복잡도나 공간 복잡도를 통해서, 구현하고자 하는 알고리즘이 현실적으로 구현이 가능하며, 그것을 통해서 의미 있는 결과를 얻을 수 있는지 뿐만 아니라, 여러 알고리즘의 특성을 알아 볼 수도 있다. 이런 이유로 현대 컴퓨터 공학에서 알고리즘을 구현하는 데에 있어서 이러한 경우의 수를 구하는 것이 중요하다.


 이와 같이, 경우의 수는 시간을 넘어서서 우리 일상 생활에서 여러 결정을 내리는 데에 큰 도움을 준다는 것을 알 수 있다. 경우의 수 그 자체뿐만 아니라, 그것을 통해서 구할 수 있는 확률 역시 우리에게 적절한 의사 결정을 하는 데에 도움을 준다는 것도 알 수 있었다. 경우의 수를 구하는 일련의 과정은 알고리즘을 구현하는 과정에서 알고리즘의 구현 가능성을 알아보고, 정성적인 평가를 하는 데에 이용될 수 있다는 것도 알 수 있었다. 이를 통해, 경우의 수를 구하는 것과 보다 효율적으로 구하는 여러 가지 방법을 아는 것이 대단히 중요하다는 것을 알 수 있다.


  1. [합의 법칙] 열매를 따는 사건은 각각이 배반이고, 이들 n개의 사건에서 구한 열매의 수는 n개이다. [본문으로]
  2. [곱의 법칙] '열매를 n개 구한다'는 사건이 똑같이 m번 나타났다. [본문으로]
  3. [조합] p명 중에서 k명을 뽑는다. [본문으로]
  4. [순열] p명 중에서 k명을 뽑고, 각각의 순위를 정한다. [본문으로]
  5. [중복조합] k명에 대해서, p명이 공개적으로 지지한다. [본문으로]
  6. [중복조합] k명에 대해서, p명이 비공개적으로 지지한다. [본문으로]
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시행의 정의 trial, experiment

수학에서 '시행'이란 무슨 뜻일까?

 동전을 던지면, 앞면이 나오거나 뒷면이 나온다. 그렇다면 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 어떻게 구할 수가 있을까? 앞면이 나오는 확률과 뒷면이 나올 확률이 같다는 사실과 동전을 던질 때, 앞면 또는 뒷면만 나온다는 사실이 전제가 된다면, 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 각각 1/2이라는 결론을 얻을 수 있다. 하지만 그러한 전제가 없다면, 직접 동전을 던지는 행위를 충분히 많이 하고, 앞면이 나오는 횟수와 뒷면이 나오는 횟수를 기록하여야 한다. 그러한 기록을 토대로 어떤 순간에 동전을 던졌을 때, 앞면이 나올지 뒷면이 나올지 예상이 가능하다. 그렇다면 이와 같이, 직접 동전을 던지는 행위를 함으로써 확률을 구할 때, '던지는 행위'는 어떤 조건을 만족해야 할까?

  시행이란 (1) 같은 조건에서 여러 번 반복할 수 있고, (2) 그 결과가 우연에 의해 결정되는 관찰이나 실험을 말한다. 수학에서 시행은 어떤 사건이 일어나는 통계적 확률을 구할 때 활용한다. 통계적 확률은 시행한 횟수가 충분히 클 때, 의미가 있기 때문에 어떤 시행이 같은 조건에서 여러 번 반복할 수 없다면 그것은 적절한 시행이라고 보기 어렵다. 또, 시행의 결과가 우연이 아니라 어떤 원인에 의해 필연적으로 나타나거나, 어떤 요인에 의해 상당한 개연성을 가진다면 적절하지 않다. 만약 어떤 사건이 필연성이나 개연성이 존재한다면, 굳이 시행을 통해서 통계적 확률을 구하기보다, 그러한 필연성을 나타나게하는 원인이나 개연성을 가지도록하는 요인이 그 사건과 어떤 관계를 가지고 있는지를 추론을 하는 것이 바람직하기 때문이다.

 가령 동전을 던지는 실험은 시행이 될 수 있다. 같은 조건에서 여러 번 반복해서 시행할 수 있을 뿐만 아니라, 던진 행위로 나타나는 결과가 전적으로 우연에 의해 나타나는 것으로 간주할 수 있기 때문이다. 그렇기 때문에 동전을 던지는 행위를 충분히 많이한다면, 어떤 순간에 동전을 던질 때 앞면과 뒷면이 어떤 양상으로 나타나는지를 알 수 있다.

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조건의 정의 condition

수학에서 '조건'이란 무슨 뜻일까?

 '가장 작은 자연수란 무엇인가?'라는 문제를 푸는 상황이 주어졌다고 하자. 이 문제를 해결하는 데에 있어서, '-1은 1보다 작다.'라든지, '1은 2보다 크다.'와 같은 명제는 그 명제 자체가 참인지 거짓인지를 떠나서 필요하지 않은 명제이다. 반면, '1은 가장 작은 자연수이다'라든지 '2는 가장 작은 자연수이다'와 같은 명제는 그것이 참인지 거짓인지 판단해야 하는 명제이다. 그렇다면 n가 자연수를 가진다고 하고, 'n은 가장 작은 자연수이다.'라는 문장을 만든다면 '가장 작은 자연수란 무엇인가?'라는 문제를 푸는 데 필요한 문장을 나타낼 수 있다. 이와 같은 문장을 '조건'이라고 한다. 그렇다면 조건이라 무엇이며, 조건은 명제와 어떤 관계인지 알아보자.

 '조건'이란 x나 n과 같은 미지수를 포함하고 있어서, 그 미지수의 값에 따라 참인지 거짓인지 여부가 결정되는 문장이고, 보통 p(x), q(x), r(x)와 같ㅌ이 나타낸다. 가령 위에서 살펴본 'n은 가장 작은 자연수이다.'라는 문장은 n에 어떤 자연수를 대입함으로써, 참인지 거짓인지 결정되는 문장이다. 이를 테면, n에 1을 대입하면 '1은 가장 작은 자연수이다.'라는 참인 명제가 되지만, n에 2를 대입한다면 '2는 가장 작은 자연수이다.'라는 거짓인 명제가 된다. 이와 같이, 조건은 조건에 포함된 미지수가 어떤 값을 가지느냐에 따라서 참인 명제가 되기도 하고, 거짓인 명제가 되기도 한다.

 조건은 조건에 포함된 미지수의 값이 정해지지 않았다면, 참인지 거짓인지 판단할 수 없기 때문에, 명제가 아니다. 명제는 조건이 포함한 미지수에 어떤 값을 대입해서 나타난 한 가지 경우이므로 참과 거짓을 판단할 수 있지만, 조건은 조건이 포함한 미지수에 값을 대입함에 따라 여러 양상의 명제가 나타나는 경우이므로 참과 거짓을 판단할 수 없다. 이러한 명제와 조건의 차이는 기호를 이용하면 단적으로 나타나는데, '조건 p(x)에 대해서, x=a인 경우를 대입하면 명제 p(a)가 나타난다'가 그러한 차이를 알 수 있는 대표적인 예이다.

 조건을 함수의 개념으로 해석할 수 있다. 조건이 포함하고 있는 미지수 x에 대입할 수 있는 모든 값을 포함하는 집합 U를 정의역으로 보고, {참, 거짓}을 공역으로 본다면, 조건 p(x)를 '정의역 U에 포함된 원소 a에 대해서, 명제 p(a)가 참이면 '참'에, 거짓이면 '거짓'에 대응하는 함수'로 볼 수 있다. 앞서 살펴본 'n은 가장 작은수이다.'라는 조건에 대해 이러한 해석을 적용해 보자. 이 때, 정의역 U는 자연수 전체 집합이 되고, 공역은 {참, 거짓}이 된다. 이 때, n은 1인 경우, 즉 p(1)은 '참'에, n=2인 경우, 즉 p(2)는 '거짓'에 각각 대응된다.

 이상으로 '조건'이란 무엇이며 명제와 어떤 관계를 가지는지 알아보았다. 더불어, 조건에 적절한 정의역과 치역을 설정하여 조건을 함수의 개념으로 해석해 보았다.

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명제의 정의 proposition

수학에서 '명제'란 무슨 뜻일까?

 세상에는 일상적인 언어나 수학적인 언어로 기술된 수없이 많은 '문장'이 존재한다. 그 많은 문장 중에서 어떤 한 문장이 참인지 거짓인지 판단하기 위해서는 판단하고자 하는 문장이 참인지 거짓인지 판단할 수 있다는 전제가 있어야 한다. 이와 같이, 참인지 거짓인지를 판단할 수 있는 문장을 별도로 규정하는 것은 의미가 있기 때문에, 수학에서는 '참인지 거짓인지 판단할 수 있는 문장'을 명제라고 한다. 명제는 일반적인 문장과 어떻게 구분되며, 어떤 경우에 명제가 참인지 거짓인지 판단할 수 있는지 알아보자.

 물론, '명제'는 일상적인 언어에서는 일반적으로 말하는 '문장'과 같은 의미로 사용이 되며, 논리학에서는 논리적 판단을 언어나 기호로 나타낸 것을 나타내기도 한다. 하지만 수학에서는 참과 거짓을 판단할 수 있는 경우에 국한해서 명제라고 지칭한다. 종종 수학에서는 '명제'라는 용어와 같이 그 용어가 일상적인 언어에 사용될 때에 비해서 좁은 범위를 지칭하는 경우가 있다.

 어떤 문장이 명제가 되기 위해서는 어떤 조건을 가져야 할까? 먼저, 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 내용이 포함되어야 한다. 가령, '1과 1을 더하시오.'와 같은 명령형 문장이나 '1과 1을 더했는가?'와 같은 의문형 문장과 같은 경우에는 일반적으로 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 내용이 없기 때문에 명제가 될 수 없다.

 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 내용이라고 하더라도, 그것을 판단할 수 있는 전제가 충분해야 한다. 우리는 보통 '자연수'와 그것의 사칙연산이 정의된 상황에서 '1+1=2'와 같은 명제를 다룬다. 그러한 상황에서는 '1+1=2'는 정의에 부합하기 때문에 참인 명제가 되고, '1+1=3'은 정의에 부합하지 않기 때문에 거짓인 명제가 된다. 하지만 만약 '자연수'와 그것의 사칙연산이 정의되지 않은 상황이라면 '1+1=2'는 판단할 수 있는 근거가 없으므로 명제가 될 수 없다.

 일상적인 상황에서 우리는 '아름다움'과 같은 단어에 대해서는 절대적인 정의를 하지 않는다. 그렇기 때문에 주어진 어떤 꽃 A에 대해서 '꽃 A는 아름답다.'라는 문장은 명제가 될 수 없다. 다만, 우리가 '아름다움'을 절대적인 기준에 의해 계량화할 수 있는 기계를 개발해서, 그 기계의 판단에 의해서 주어진 꽃의 아름다움을 판단 할 수 있다면, '꽃 A는 아름답다.'라는 문장 역시 명제가 될 수 있다. 한편, 어떤 집단에서 '아름다움을 결정하는 모임'이라는 모임을 만들어, 모든 아름다움의 기준을 그 모임의 결정에 따른다고 한다면, 그 경우에도 그 집단 안에서는 '꽃 A는 아름답다'라는 문장은 명제가 될 수 있다. 이와 같이, 일상적인 경우에는 명제가 될 수 없는 문장이라도, 그 문장을 판단하는 절대적인 기준을 만들거나, 한정된 범위에서만 따르는 기준을 만든다면 그 문장은 명제가 될 수 있다.

 이상으로 '명제'란 무엇이며, 어떤 경우에 명제가 될 수 있다는 것을 알았다. 특히, 주어진 문장이 참인지 거짓인지는 그 문장이 가진 사실 뿐만 아니라, 그 문장이 주어진 상황을 반드시 주시해야 한다는 것을 알 수 있다.


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미적분학의 기본정리(미적분의 기본정리, 정적분의 기본정리)
미분과 적분, 부정적분과 정적분은 어떤 관계가 있을까?

 미분과 적분인지 무엇인지 알아보았지만 막상 이들 사이에 얼마나 긴밀한 관계가 있는지는 알기 어렵다. 도함수를 구하는 미분은 결국 접선의 기울기를 구하는 것이고, 정적분의 값을 구하는 적분은 결국 넓이를 구하는 것인데 이들 사이에는 어떤 관계가 있는 것인지 이해하기 어렵다. 적분 안에서도 부정적분과 정적분의 경우 인테그랄을 쓴다는 것 이상으로는 공통점을 이해하기 어렵다. 이들 사이의 관계는 미적분학의 기본정리를 통해서 설명이 가능하다. 그렇다면 미적분학의 근간을 이루는 대표적인 기본 정리 2개가 각각 무엇이며, 그것이 왜 성립하는지 알아보자.

 미적분학의 기본 정리는 크게 '미적분의 기본정리'와 '정적분의 기본정리'라는 $2$개의 정리로 구성되어 있다. 미적분의 기본정리는 미분과 적분은 어떤 관계가 있는지 설명하는 것이고, 정적분의 기본정리는 부정적분의 차이를 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 설명하는 것이다.

 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 0이상일 때, 닫힌 구간 $[a, b]$에서 곡선 $y=f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이는

 

$ \begin{align*}  S(x) = \int_a^x f(t) dt \end{align*} $

 

와 같이 나타낼 수 있다. 미적분의 기본정리는 함수 $S(x)$의 값을 무한급수의 방법으로 구하는 과정에서, 함수 $S(x)$의 도함수는 함수 $f(x)$가 아닐까라는 생각에서 시작된다. 직관적으로는 넓이를 '아주 작은 구간'에서의 변화는 결국 그 지점에서 함숫값이 된다는 것을 알 수 있다.

 이 사실은 증명하면 다음과 같다. 일반성을 잃지 않고, $x$의 변화량 $\Delta x$ 가 $0$보다 큰 경우를 생각해보자. 함수 $S(x)$의 변화량 $\Delta S$ 는

 

$ \begin{align*}  \Delta S = S (x+ \Delta x) - S(x) \end{align*} $

 

 가 된다. 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이므로, 최대, 최소 정리에 의해 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 가지게 된다. 그 최댓값과 최솟값에 의해 변화량 $\Delta S$는
 

$ \begin{align*}  m \Delta x \leq \Delta S \leq M \Delta x \end{align*} $

 

와 같은 범위 안에 있음을 알 수 있다. 양변을 변화량 $\Delta x$ 로 나눈다면

 

$ \begin{align*}  m \leq \frac{\Delta S}{\Delta x} \leq M  \end{align*} $

 

이 된다. 변화량 $\Delta x$ 가 $0$보다 작은 경우에도 똑같은 방식으로 위와 같은 결과가 나온다.

 여기서 변화량 $\Delta x$가 $0$에 한없이 가까워진다면, 함숫값 $f(x)$와 함숫값 $f(x+Δx)$가 사이의 차이가 없어지면서, 최댓값 $M$과 최솟값 $m$ 모두 함숫값 $f(x)$에 가까워진다. 극한값의 성질인 샌드위치 정리에 의해서,

 

$ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} = \frac{\Delta S}{\Delta x} &= f(x) \end{align*} $

 

가 성립함을 알 수 있다. 이는 도함수의 정의에 의해서,

 

$S'(x) = f(x)$

 

 가 성립한다는 것을 의미한다.

 넓이의 개념을 착안해서, 함수 $f(x)$가 해당 구간에서 $0$이상인 경우에 대해서 증명하였지만, 함수 $f(x)$의 부호에 상관 없이 일반적인 경우에도 성립한다.

 이와 같이, 미적분의 기본 정리를 통해서 미분과 적분 사이에 어떤 관계가 있는지 알 수 있다. 특히, 어떤 함수를 적분을 한 다음에 그것을 다시 미분하면 원래 함수가 된다는 것을 알 수 있다.

('정적분의 기본정리'는 추가 정리 예정)

 
[참고] 위키피디아 '미적분학의 기본정리'

 

 

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적분의 정의 (정적분의 정의)
적분이란 무슨 뜻일까?

 '적분'이 무엇인지 물으면 선뜻 대답하기 어렵다. 넓이를 구하는 것이라고 설명해야 할 것 같기도 하고, 미분에 대응하는 개념이라고 설명해야 할 것 같기도 하다. 이는 '적분'과 관련된 개념의 근본적인 의미를 파악하지 못하고, 적분과 관련된 개념이 사용되는 양상을 파악하는 데 그쳤기 때문이다. 적분과 관련된 기본적인 개념을 파악해보자.

 적분이란 부정적분이나 정적분의 값을 구하는 것을 말하고, 부정적분이나 정적분의 값을 구하는 과정을 '적분법'이라고 말한다. 표현을 할 때, 단순히 '주어진 함수를 적분한다'라는 표현을 쓴다면 그것은 주어진 함수의 부정적분을 구하는 것이고, 구간을 주어 '주어진 함수를 a에서 b까지 적분한다'라는 표현을 쓴다면 주어진 함수의 해당 구간의 정적분의 값을 구하는 것이다.

  '부정적분'에 대해 알아보자. 주어진 함수 f(x)의 부정적분을 구한다는 것은 주어진 함수 f(x)를 도함수로 가지는 함수 F(x)를 구하는 것을 말한다. 여기서 함수 f(x)와 함수 F(x)는 간단히

 와 같은 관계를 가졌다고 정리할 수 있다. 여기서 함수 F(x)는 함수 f(x)의 부정적분(원시함수)라고 표현한다. 부정적분이라는 표현은 주어진 함수에 대한 원시함수의 동의어를 말하기도 하고, 그 원시함수를 구하는 과정을 말하기도 한다.

 주어진 함수 f(x)에 대해서, 부정적분은 하나가 아니다. 직관적으로 함수 F(x)를 y축 방향으로 평행이동하여 만든 함수 G(x)는 기울기 변화에 있어서는 원래 함수인 F(x)와 같기 때문에, 미분한 결과 역시 함수 F(x)와 같다는 것을 알 수 있다. 실제로 상수 C는 미분하여 0이 되기 때문에,

 와 같이 표현할 수 있다. 함수 F(x)가 함수 f(x)의 원시함수라고 한다면 상수 C에 대해, F(x)+C도 함수 f(x)의 부정적분이 된다는 것을 알 수 있다.

 주어진 함수 f(x)에 대해서 부정적분이 하나가 아니기 때문에, 함수 f(x)의 부정적분을 표현할 때에는 상수 C를 이용해서,

 와 같이 표현할 수 있다. 함수 f(x)는 적분을 하는 대상이기 때문에 피적분함수라고 부르고, 상수 C는 적분상수라고 부른다. 이와 같이, 구간을 정하지 않고 적분을 하는 것은 주어진 함수의 부정적분(원시함수)를 구하는 것이다.

 한편, 위의 동치를 나타내는 명제에서, 함수 f(x)의 부정적분 F(x)를 구한다는 것은 부정적분 F(x)를 미분하여 함수 f(x)를 구하는 것을 거꿀로 하면 된다는 것을 알 수 있다. 이를 통해서, '부정적분을 구한다'는 '미분을 역연산하는 것이다'라고 표현하는 것이 가능함을 알 수 있다.

 '정적분'에 대해 알아보자. a에서 b까지의 주어진 함수의 정적분의 값은

과 같은 무한급수이다. 이것을 간단하게 

 와 같이 나타내어 '정적분의 정의'라고 한다. (단, 여기서 a는 아랫끝, b는 윗끝이라고 말한다.)

 위 식에서 x_k와 Δx는 무엇을 의미할까? x_k와 Δx는 각각

와 같다. 이것은 적분하고자 하는 구간을 n개의 조각으로 나눈 것의 하나하나를 표현하기 위한 수단이라고 보면 된다. 

 Δx는 (b-a)를 n으로 나눈 것인데, 이것은 닫힌 구간 [a, b]의 구간의 길이 (b-a)를 n등분한 것이다. 조각 하나의 길이를 나타내는 것으로 보면 된다. x_k는 a에서 k개의 조각 길이만큼 더한 것이다. 이것은 k번째 조각의 위치를 나타내는 것으로 보면 된다. k=0일 때에는 적분을 시작하는 지점인 a를 나타내고, k=n일 때에는 적분을 마치는 지점인 b를 나타낸다는 것을 알 수 있다.

 정적분의 정의는 정적분과 무한급수 사이에 어떤 관계가 있는지 보여준다. 이러한 관계는 일상적인 상황에서 어떤 도형을 무한급수의 식으로 표현했을 때, 그 식을 다시 적분식으로 표현해서 값을 구하고자 할 때 요긴하게 쓸 수 있다. 실제 문제 상황에서 이 관계를 효과적으로 쓰기 위해서는 정적분의 정의가 어떻게 해서 나왔는지 파악하여, 식의 의미를 올바르게 파악할 필요가 있다.

 정적분의 정의의 하나하나를 살펴보자. 시그마 부호 안은 'k번째 조각의 함숫값'과 '조각 하나의 길이'를 곱한 것이다. 이것은 하나의 조각을 직사각형으로 보고 그 조각의 가로와 세로를 곱한 것이다. 이것은 주어진 함수에서 정적분 하고자 하는 구간을 작은 여러 개의 직사각형으로 분할하여, 그 작은 직사각형을 하나하나의 넓이를 더한다는 것을 의미한다. 여기서 n은 주어진 구간을 '몇 개로 나눈다는 것'을 의미하므로, n이 한없이 커진다는 것은 '한없이 많이 나눈다는 것'을 의미한다. 한없이 많이 나눈다면 그 하나하나의 구간의 길이는 아주 작아질 것이다.

 그렇다면 정적분은 왜 이와 같이 주어진 함수의 구간을 '아주 작아질 때'까지 나누는 과정을 하는 것일까? 이것을 이해하기 위해서는 구분구적법을 이해해야 한다. 구분구적법은 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하기 어려울 때, 구하는 방법을 알고 있는 작은 도형으로 분할하여, 그 작은 도형의 넓이나 부피를 각각 구하여, 그 값들을 합하여 근삿값을 구하는 방법이다. 이를 테면, 원의 넓이는 곡선이기 때문에 구하기 어렵지만 그것을 수없이 많은 작은 '삼각형과 같은 도형'으로 분할하여, 그 '삼각형과 같은 도형'의 넓이를 '삼각형'의 넓이를 구하는 방법으로 각각을 구하여, 그 값들을 합하여 원의 넓이의 근삿값을 구하는 것이 대표적인 예이다.

 주어진 함수 f(x)가 주어진 닫힌 구간 [a, b]에서 0이상의 값을 가질 때, 정적분의 값은 곡선 y=f(x)와 x축, 직선 x=a, 직선 x=b로 둘러싸인 도형의 넓이가 된다. 예컨대, f(x)=x이고, [0, 1]이라면 (0,0), (1,1), (1,0)을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형의 넓이 (1/2)이 된다. 이와 같이, 정적분은 주어진 함수가 일정 조건을 충족한다면 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 수 있다는 것을 알 수 있다.

 흔히, 적분을 좁게 '넓이를 구하는 것'이라고 정의를 하는데, 그것은 일정한 조건을 충족할 경우에 넓이를 구할 수 있기 때문이다. 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 수 있다는 사실을 두 곡선 사이의 넓이, 입체의 부피, 회전체의 부피 등으로 응용하여 여러가지 길이, 넓이, 부피를 구할 수 있다.

 이와 같이, 구간을 정하고 적분을 하는 주어진 함수의 해당 구간의 정적분의 값을 구하는 것이다. 여기서 정적분의 값은 해당 구간에서 0이상의 값을 가진다면 곡선과 x축 사이의 넓이를 의미하고, 이 사실은 나아가 여러가지 길이, 넓이, 부피를 구하는 방법이 된다.

 적분이라는 개념은 부정적분(원시함수)을 구하는 부정적분과 정적분의 값을 구하는 정적분이 있다는 것을 알았다. 또, 정적분의 값의 의미는 적분을 통해서 다양한 물리량을 측정할 수 있다는 것을 의미한다. 이러한 점을 통해 '적분'이라는 개념을 배우는 이유를 알 수 있다.


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미분의 정의
미분이란 무슨 뜻일까?

 '미분과 적분'에 대해 알아보기 위해, 수학책을 펼쳐보면 '극한', '연속성' 등에 대한 개념을 모두 하고나서야 비로소 '미분'에 관한 설명이 나타난다. 그래서 대개 '미분'이란 것이 도대체 무엇인지도 모르고 포기하기도 하고, '미분법'만 알고 미분을 하는 경우도 허다하다. 그렇다면 도대체 '미분'이 무엇이며, '미분'을 다룰 때 나오는 각 용어의 뜻과 각 용어 사이의 관계에 대해 알아보자.

 미분이란 어떤 함수 f(x)의 f'(x)를 구하는 것을 말하고, f'(x)를 구하는 여러가지 방법을 '미분법'이라고 말한다. 여기서 f'(x)를 도함수라고 한다. 도함수는


와 같이 정의할 수 있다.

 여기서 '도함수'란 무엇일까. 도함수의 정의를 보면 'h가 0에 가까워질 때, (x+h)일 때와 (x)일 때의 함숫값의 차이를 h로 나눈다'는 것을 의미한다. 이것은 기하학적으로 점 (x, f(x))와 점 (x+h, f(x+h))을 지나는 '직선의 기울기'가 된다. '기울기'는 'y좌표의 변화량'을 'x좌표의 변화량'으로 나눈 것을 의미하므로 'x값이 변할 때, y값이 얼마나 변하는지'에 관한 것이고, 이것은 '변화율'을 의미하게 된다.

 변화율이 무엇인지 알아보자. 우리는 흔히 '일정 시간 동안에 얼마나 운동 거리가 변했는지'를 측정하고 이것을 속도라고 한다. 속도에는 어느 정도 시간을 잰 후, 그 시간 동안 얼마나 움직이는지 관심을 가지고 '평균 속도'를 구할 수도 있겠지만, 어느 순간에 얼마나 움직이는지 관심을 가지고 '순간 속도'를 구할 수도 있다. 이와 마찬가지로 '변화량'의 경우에도 일정 정도의 x값이 변할 때, 어느 정도 y값이 변하는지에 관심을 가지고 '평균 변화율'를 구할 수도 있고, 어느 순간의 x값에서의 y값이 변하는지에 관심을 가지고 '순간 변화율'을 구할 수도 있다.

 이 둘 사이를 조금 더 분명하게 구분 짓자면, 평균변화율은 '어떤 구간'에서의 변화율을 보는 것이고, 순간변화율은 '어떤 순간'의 변화율로 보는 것이다. 한편, 평균변화율의 '어떤 구간'이 한없이 작아져서 0에 가깝다면 그것을 '어느 순간'이라고 볼 수 있다.

 평균변화율과 순간변화율의 정의를 비추어 본다면, '도함수'에서 나타내는 변화율은 '순간변화율'이 된다. 왜냐하면 점 (x, f(x))와 (x+h, f(x+h)) 사이의 x좌표의 변화량으로 h라는 '어떤 구간'이 존재하지만, 이 구간은 한 없이 작아지기 때문에 '어떤 순간'이라고 볼 수 있기 때문이다.

 이러한 순간변화율은 '미분계수'라고도 한다. 일반적으로 x=a에서의 미분계수는


와 같이 정의할 수 있다. '미분계수'에서 '계수'라는 표현은 영어식 표현인 'differential coefficient'에서 'coefficient'를 번역한 것이라서 '문자 이외의 부분'을 나타내는 통상적인 '계수'라는 뜻과는 다소 차이가 있다. 또, 미분계수는 '함수'의 개념이 아니라 어떤 값이라는 점도 유념해야 할 사항이다. 

 문득, 우리는 어떤 함수 f(x)의 도함수 f'(x)를 'x값이 주어지면, 주어진 x값에서의 미분계수를 가르쳐주는 함수'로 볼 수 있다는 것을 느끼게 된다. 이를 테면, f(x)=x라는 함수의 도함수는 f'(x)=1인데, 이를 통해 f(x)는 임의의 실수에 대해  미분계수로 1을 가진다는 사실을 알 수 있다. 도함수는 어떤 함수의 순간변화율, 즉 미분계수를 알려주는 함수로 볼 수 있다.

 한편, 기하학적으로 접선의 기울기의 정의에 의해, 어떤 함수 f(x)의 x=a에서의 순간변화율, 즉 미분계수는 x=a에서의 접선의 기울기를 의미하게 된다. 그렇기 때문에 도함수는 '주어진 함수의 각 지점에서의 접선의 기울기를 가르쳐 주는 함수'로도 볼 수 있다. 이러한 미분계수의 기하학적 의미로 인해서, 흔히 '미분은 그래프의 기울기를 구하는 것이고, 적분은 그래프의 넓이를 구하는 것이다.'라는 표현이 종종 사용된다.

 그렇다면 왜 우리는 도함수를 '도함수'라고 부를까. 기울기와 관련된 함수이기 때문에 각도를 의미하는 '도(度)'를 연상하기 쉽지만, 도함수에서 쓰는 '도(導)'는 '인도하다'라는 뜻이고, 흔히 '도출되다'라는 표현을 쓰일 때 쓰이는 글자다. 이것은 도함수의 영어식 표현인 'derived function'에서 'derived'에서 나온 것이다. 이는 '미분한 결과로 도출된' 식이라는 의미로 쓰인 것이다.

 이와 같이, 미분이라는 것은 '도함수를 구하는 것'이고, 도함수는 주어진 함수의 미분계수를 함숫값으로 가지는 함수라는 것을 알아 보았다. 특히, 미분 계수는 순간변화율이라는 의미 뿐만 아니라, 접선의 기울기를 의미하기 때문에 그 활용하는 범위가 대단히 넓다. 이런 점에서 우리가 '미분'이라는 개념을 배우는 이유를 알 수 있다.
[참고] 수학사랑 - '수학백과'  http://www.mathlove.kr/shop/mathlove/index.php 


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