이산수학의 정의

이산수학의 정의 Discrete mathematics

이산수학이란 무엇인가?

 '이산수학이란 무엇인가요?'라는 질문에 대답하기는 쉽기도 하고, 어렵기도 하다. 대답하기 쉽다면 그저 '이산수학이란 수학에서 이산적인 주제를 다루는 것이야'라고 대답하기 때문에 쉬울 것이다. 이 대답이 틀린 것은 아니지만 '이산적인 주제'가 대단히 모호한 표현이기 때문에 질문에 대한 적절한 답변이 되기 어렵다. 이는 '이산적인 주제'에 대한 구체적인 설명이 뒷받침 될 때, 비로소 질문에 대한 답변이 될 수 있음을 알 수 있다. 그렇다면 '이산적인 주제'에 대해 구체적으로 알아보자.

 이산수학은 이산적인 수학 체계를 연구하는 수학 분야이다. 미적분학과 같은 경우에는 '미분과 적분'이라는 핵심적인 주제가 있기 때문에, 그 학문의 성격을 명확하게 이해할 수 있다. 하지만 이산수학의 경우에는 핵심적인 주제는 없고, '이산적인 성격'을 가지는 다양한 주제를 이산수학의 범주 안에 두기 때문에 그 성격을 명확하게 이해하기는 쉽지가 않다.

 이산수학의 정의가 모호한 것은 이산수학이 현대 컴퓨터의 개발과 관련되어 있기 때문이다. 미적분학의 경우에는 미분법과 적분법의 발견으로 말미암아 그와 관련된 이론을 집대성한 것인 반면, 이산수학의 경우에는 컴퓨터의 개발과 함께, 그와 관련된 여러 수학 개념을 집대성한 것이다. 그렇기 때문에 이산적인 성격을 띠는 전산학의 기초 이론을 이해하는 데에 필요한 여러 가지 수학 이론은 모두 이산수학에서 탐구하는 주제가 될 수 있는 것이다.

 이산수학에서 다루는 대표적인 주제에는 어떤 것이 있을까? 먼저, 정보과학(Theoretical computer science, TCS)이 있다. 이 분야는 컴퓨터 개발에 이용되는 일반적인 전산학과 수학의 이론을 연구하는 분야이다. 정보과학과 더불어 정보이론(Information theory)이라는 분야도 있다. 이 분야에서는 일상적으로 주고 받는 문자매체부터 시작하여, 생명체가 유전정보를 전달하는 유전자까지 여러 분야의 정보를 어떻게 전달하는지를 연구하는 분야이다.

 이산수학은 일반적인 수학에서 이용하는 여러 가지 이론 역시 다룬다. 논리구조가 일관성이 있으며, 타당하며, 완벽한지를 연구하는 논리학(Logic), 집합과 관련된 다양한 성질을 연구하는 집합론(Set theory), 조합수를 이용해서 수를 세는 방법을 이용해서 연구하는 조합론(Combinatorics), 그래프와 관련된 다양한 성질을 연구하는 그래프 이론(Graph theory), 표본공간에서 특정 사건이 일어나는 확률을 연구하는 확률론(Probability), 정수와 관련된 성질을 연구하는 정수론(Number Theory)와 같은 것인 이산수학에서 다루는 주제가 된다. 그 외에도 대수학, 기하학, 위상수학의 일부분야가 이산수학의 연구분야가 될 수 있다. 예컨대, 대수학의 논리단자(Logic gate)를 구성하는 데에 필요한 불대수(boolean algebra)는 이산수학의 연구분야가 될 수 있다.

 나아가 최근에는 수학뿐만 아니라, 경영학이나 경제학에서도 중요하게 다루어지는 게임이론(Game theory), 결정이론(Decision theory), 효용이론(Utility theory)과 사회결정이론(Social choice theory) 등도 이산수학의 한 분야가 될 수 있다. 주어진 문제 상황을 해결하는 최적에 가까운 해결 방안을 제시하기 위해서 알고리즘을 구성하게 되는데, 그 알고리즘을 분석하는 과정에서 이산적인 수학 체계가 이용이 된다. 또, 이러한 분야의 연구 결과는 인공지능(Artificial Intelligence)를 개발하는 데에도 활용될 수 있다.

 이와 같이, 이산수학은 현대 전산학의 기초적인 이론을 이해하기 위해 구성된 수학 분야이기 때문에, 핵심적인 연구분야를 명확하게 말하기가 어렵지만, 오히려 그러한 특성 덕분에 광범위한 주제를 유기적으로 다루어서 현대 전산학자가 직면하는 여러가지 문제를 해결하는 데에 큰 도움을 준다.

 * 이 글은 영문판 Wiki Pedia의 'Discrete mathematics' 항목의 내용을 참고해서 작성된 내용입니다. 다음은 참고한 원문을 번역한 것입니다. (주석은 원문을 직접 확인해 주십시오.)

 이산수학은 기본적으로 연속적인 수학 체계보다 이산적인 수학 체계를 연구하는 수학 분야이다. 실수가 '매끄럽게' 바뀌는 속성을 가진 데에 비해서 이산 수학에서 다루는 정수, 그래프, 논리 표현과 같은 연구 주제는 매끄럽게 변하지 않고 이산적으로, 즉 서로 떨어진 값을 가진다. 그러므로 이산수학에는 미적분학이나 수리 분석과 같은 '연속적인 수학'의 주제는 다루지 않는다. 이산적인 대상은 보통 정수를 이용하여 열거할 수 있다. 이산수학은 가산집합(자연수 집합의 부분집합과 같은 밀도(cardinality)를 가지는 집합. 유리수 집합은 해당되지만, 실수 집합은 해당되지 않는다.)을 다루는 수학의 한 분야가 특화 된 것이라고 보는 것이 더 공식적인 견해이다. 하지만 이산수학에 대해 정확하면서도 보편적으로 받아들여지는 정의는 존재하지 않는다. 사실상 이산수학은 무엇을 연구하는지 보다는 무엇을 연구하지 않는지(연속성과 관련된 다양한 수량과 연관된 개념)를 통해서 더 잘 표현될 수 있는 것이다.