원의 정의

원의 정의

원이란 무엇인가?

 우리가 처음 도형을 배울 때, 모양을 가지고 막연하게 세모, 네모, 동그라미 등을 배우게 된다. 그런데 수학은 이른바 '정의의 학문'이기 때문에, 원을 막연하게 '동그란' 도형으로 파악하는 것은 적절하지 않다. 만약 그렇게 원을 이해한다면, 원과 관련된 여러 가지 성질을 탐구하는 데에 있어서 상당히 어려움이 뒤따르기 때문이다. 그렇다면 원의 정의에 대해 알아보자.

 원이란 평면 위의 어떤 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 자취를 말한다. 원의 정의를 수식으로 표현하면,

 와 같다. 이 식은 xy평면에서 원점 (0, 0)으로부터 일정한 거리 r만큼 떨어진 점들의 자취를 표현한 원의 방정식이다.

 원의 정의의 의미를 자세히 알아보자. 먼저, 원은 평면에서 정의되는 도형이다. 평면이라는 조건이 아니라면 공간상에서 구 역시 어떤 점에서 일정한 거리에 있는 점의 집합이 되어 성립하게 된다.

 다음으로, 중심이과 반지름이 있어야 한다. 정의를 보면 '어떤 점에서'라는 것이 있는데, 이 점은 원이 정의되기 위해서는 반드시 필요한 원의 중심이다. 한편, '일정한 거리에 있는'이라는 것이 있는데, 이 거리는 원이 정의되기 위해서는 반드시 필요한 원의 반지름에 해당한다.

r=1인 경우, 원의 중심과 반지름

 한편, 원 위의 임의의 두 점을 이은 선분을 현이라고 한다. 어떤 원의 현 중에서 가장 긴 경우는 중심을 지나는 경우이다. 이 현을 지름이라고 하는데, 지름의 길이는 반지름의 길이의 2배이다.

r=1인 경우, 원의 현과 지름

 끝으로, 원은 자취라는 점이다. 여기서 자취는 어떤 일정한 성질을 만족하는 점들의 집합으로 이루어진 도형을 말한다. 자취라는 것이 '점들의 집합'이므로 원을 일종의 일정한 조건을 만족하는 점들의 집합으로 보아, 원을 xy평면에서

 와 같이 집합의 표현을 사용하여 표현할 수도 있다.

 이와 같이, 원의 정의와 관련된 내용을 알아보았다. 원을 정의하는 데에 필요한 원의 중심과 반지름을 알아보면서, 현과 가장 길고, 중심을 지나는 현인 지름, 그리고 그 지름과 반지름의 관계에 대해서 알아보았다. 더불어, 자취의 개념도 함께 알아보았다.