케일리-해밀턴의 정리

케일리-해밀턴의 정리 Cayley-Hamilton theorem

케일리-해밀턴의 정리란 무엇일까?

 일반적으로 높은 차수의 행렬을 낮은 차수의 행렬로 만들거나, 주어진 조건에 만족하는 행렬이 존재하는지, 존재한다면 어떤 행렬이 존재하는지를 알아볼 때, 케일리-해밀턴의 정리가 이용된다. 이런 측면에서, 이차 정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴의 정리는 요긴하게 사용되지만, 그 역이 성립하지 않는다는 사실을 유념하지 않는다면, 오히려 알아보고자 하는 행렬에 대해 오해를 할 수 있다. 그렇다면 케일리-해민턴의 정리에 대해 알아보자.

 이차정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴의 정리란 다음과 같은 임의의 이차 정사각행렬

에 대해서, 다음과 같은 행렬 A에 대한 식

이 성립한다는 정리이다.

 이에 대한 증명은 다음과 같이 할 수 있다. 

 [1] 케일리-해밀턴의 정리를 증명하시오.

 (증명) 증명하고자 하는 식의 각 항은

, , 

와 같이 표현할 수 있다. 이 사실을 주어진 식에 넣어 다음과 같이 정리하면,

이 성립하여 증명하고자 하는 케일리-해밀턴의 정리가 증명이 된다. □

 케일리-해밀턴의 정리는 역이 성립하지 않는다. 케일리-해밀턴의 정리의 역은 어떤 이차 정사각행렬

에 대해서, 다음과 같은 행렬 A에 대한 식 (가)

을 성립한다고 해서, 다음의 값

, 

이 식 (가)의 A항의 계수와 단위행렬의 계수와 반드시 일치하는 것은 아니라는 것이다.

 이 역이 성립하지 않는다는 것은 식 (가)를 만족하는 행렬 A가 

,  

와 같이, 두 가지 형태가 가능하다는 것이다. 즉, 당초 예상했던 행렬뿐만 아니라, 단위행렬 E의 실수배의 형태도 나타날 수 있다는 것이다.

 그렇다면 행렬 A에 대한 식 (가)를 만족하는 행렬은 위 두 형태뿐이라는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다.

[2]  다음과 같은 식

을 만족하는 행렬의 형태를 모두 구하시오.

 (풀이) (가) 식의 각 계수를 어떤 실수 p, q로 둔다면,

, 

와 같이 둘 수 있다. 이 식으로 (가) 식을 표현하면,

와 같다. 구하고자 하는 A는 주어진 p와 q에 대해서 만족하는 (a, b, c, d)의 순서쌍에 의해 결정되고, 다음과 같이 두 가지 경우가 있다.

 (1) p=-(a+d), q=(ad-bc)인 경우이다. 이 때에는

와 같이, 케일리-해밀턴의 정리에서 예상할 수 있는 결과가 나타난다.

 (2) b=c=0, a=d인 경우이다. 이 때에는

와 같이, 단위행렬의 실수배의 형태의 결과가 나타난다. 이 때, a는 

을 만족한다.

 이와 같이, 주어진 식을 만족하는 행렬의 형태를 모두 구하였다. □

 그렇다면 이차정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴의 정리는 이차정사각행렬을 이해하는 데에 요긴하게 쓰일 수 있다. 케일리-해밀턴의 정리를 이차정사각행렬의 성질을 이해하는 데에 어떤 방식으로 활용되는지 알아보자. (다음에 언급되는 행렬은 모두 이차정사각행렬이다.)

 임의의 행렬 A에 대해서

이 성립한다는 사실이다. 이것은 케일리-해밀턴의 정리의 그 자체로, 주어진 행렬 A를 포함하는 식을 만들 수 있다는 것을 의미한다.

 A의 높은 차수의 형태를 포함하는 식에서, 높은 차수의 A의 차수를 낮출 수 있다. 이것은 케일리-해밀턴의 정리로부터

이 성립한다는 것으로부터 알 수 있기 때문이다. 한편, 이 사실은 아무리 높은 차수의 행렬이라도, 차수가 1인 형태로 산술적으로는 고칠 수 있다는 것을 의미한다.

 한 종류의 이차정사각행렬로 이루어져 있으며, 그 이차정사각행렬의 최고 차수가 2인 경우, 그 식을 만족하는 이차정사각행렬을 무수히 만들 수 있다. 이것은 케일리-해밀턴의 정리를 반대로 이용한 것이다. 즉, 다음과 같은 식

을 성립하는 행렬 A는 무수히 많다는 것이다.

 다만, 케일리-해밀턴의 정리를 반대로 적용한 것이기 때문에 케일리-해밀턴의 정리로 예상할 수 있는 형태와 단위 행렬의 실수배의 형태가 모두 나타날 수 있다는 사실을 염두해 두어야 한다. 또, 성립하는 행렬 A가 무수히 많다는 것은, 행렬 A의 성분의 수의 범위가 '복소수 범위 이상'이라는 전제가 있을 때 성립한다. 즉, '실수 범위 이내'에서는 성립하는 행렬 A의 수가 한정이 되거나, 심지어 존재하지 않을 수 있다.

 특히, 단위 행렬의 실수배의 형태의 경우는 다음과 같이 a에 관한 식

을 만족하는 경우이다. 그렇기 때문에, 위 식이 a에 관한 실근을 가지지 않는다면, '실수 범위 이내'에서는 성립하는 '단위 행렬의 실수배'의 형태가 존재하지 않는다.

 이와 같이, 케일리-해밀턴의 정리를 이용해서 주어진 식을 만족하는 행렬을 찾는 것은 이차정사각행렬을 이해하는 데에 도움이 된다. 주어진 식을 만족하는 행렬의 존재성을 알려줄 뿐만 아니라, 그에 대한 구체적인 반례도 제시해주기 때문이다. 특히, 수의 범위에 따른 존재성을 명확하게 이해한다면, 케일리-해밀턴 정리를 보다 요긴하게 활용할 수 있다. 예컨대, 행렬의 성분이 실수 범위로 한정이 된다면, 주어진 조건을 만족하는 행렬이 존재하지 않는다는 것을 보일 때, 이 원리를 이용할 수 있다.

 케일리-해밀턴 정리의 식에서 단위행렬 E의 계수가 행렬식(determinant)라는 점에서 이끌어 낼 수 있는 성질이 있다. 먼저, 행렬 A가 단위행렬의 실수배의 형태가 아니며,

와 같은 형태로 정리가 된다면, 행렬 A는 역행렬을 가지지 않는다. 이 명제는 케일리-해밀턴의 정리에서 단위행렬 E의 계수가 0이라는 사실로부터도 알 수 있으며, 귀류법으로도 다음과 같이 설명이 가능하다.

 [3] 단위행렬의 실수배의 형태가 아닌 어떤 행렬 A가

를 만족하면, 행렬 A는 역행렬을 가지지 않는다.

 (증명) 귀류법에 의해 증명하자. 행렬 A가 역행렬을 가진다고 가정하면, A+kE=O가 되어서, A가 단위행렬의 실수배의 형태가 되어서 모순이 된다. 그러므로 행렬 A는 역행렬을 가지지 않는다. □

 한편, 어떤 행렬 A가 역행렬을 가지지 않는다면,

와 같이 정리할 수 있다. 이는 케일리-해밀턴의 정리를 직접 적용한 경우이다.

 이로써, 케일리-해밀턴의 정리가 무엇이며, 어떻게 증명할 수 있는지 알아보았다. 특히, 그 역이 성립하지 않는 이유에 대해서도 알아보았다. 케일리-해밀턴의 정리 그 자체와 그것을 증명하는 과정에서 이끌어낼 수 있는 여러 가지 성질을 통해, 케일리-해밀턴의 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해서도 알아보았다.

[참고] 수학사랑 - '수학백과'  http://www.mathlove.kr/shop/mathlove/index.php

 * 케일리-해밀턴 정리의 증명 과정에 대해 참고하였습니다. 또, 

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와 같이, 여러 가지 표기법이 있지만, '수학백과'에 따라서 '케일리-해밀턴의 정리'로 정리하였습니다.