점대칭

점대칭의 정의 point symmetry

점대칭이란 무엇인가?

 어떤 것을 기준으로 대칭 이동하는 방법에는 선대칭, 점대칭 등이 있다. 그렇다면 어떤 기준을 중심으로 대칭이동하는 '점대칭'에 대하여 알아보자.

 점대칭이란 두 점(선분)이 한 점을 사이에 두고 같은 거리에 있는 경우를 말한다. 아울러, 점대칭 도형이란 도형을 한 점을 중심으로 180° 돌린 후에, 처음 도형과 완전히 겹쳐지는 도형을 말한다. 아래와 같이, 점 P와 점 Q는 점 A를 사이에 두고 같은 거리에 있으므로 점대칭이다. 점 P와 점 Q를 한 도형 F로 보고, F를 점 A를 중심으로 180° 돌려도, 처음 도형 F와 완전히 겹쳐지므로 점대칭 도형이라고 말할 수 있다.

 점대칭의 중심이란 점대칭을 하는 과정에서 기준이 되는 점이다. 일반적으로, 대칭 이동에서 중심은 점대칭에서만 생각할 수 있으므로, 점대칭의 중심을 간단하게 '대칭의 중심'이라고 말한다. 위의 그림에서 점 A가 대칭의 중심이 된다.

 어떤 점을 점대칭이동을 한 결과의 점을 구하는 것은 중요한 문제이다. 이를 테면, 위의 그림에서 점 P를 점 A를 대칭의 중심으로 하여, 대칭이동시켜서 구한 점 Q를 구하는 것이 그러한 문제 중의 하나이다. 그 방법은 다음과 같다.

 [1] 점 P(x, y)를 점 A(a,b)를 중심으로 점대칭이동시킨 점 Q의 좌표를 구하시오.

 (풀이) 점대칭의 정의로부터, 점 P와 점 A는 점 Q로부터 같은 거리에 있는 점이라는 것을 알 수 있다. 이로 부터, 점 A는 선분 PQ의 중점이라는 것을 알 수 있다. 구하고자 하는 점 Q의 좌표를 (x', y')라고 하면,

, 

 와 같은 관계가 성립한다는 것을 알 수 있다. 이를 정리하면,

 와 같이, 구하고자 하는 점 Q의 좌표를 구할 수 있다. □

 다음과 같은 변환을 생각하면,

이 일차변환은 주어진 도형을 점 A(a,b)를 대칭의 중심으로 하여 점대칭한 도형으로 옮기는 변환이 된다. 아래와 같이, (1,1)을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 원점을 대칭의 중심으로 하여 점대칭 이동시키면, (-1,-1)을 중심으로 하고 반지름이 1인 원이 된다.

 원의 방정식을 점대칭을 나타내는 변환에 의해 점대칭 이동시켜도, 위의 결과를 얻을 수 있다.

 이와 같이, 점대칭의 정의와 주어진 점을 대칭의 중심으로 점대칭한 결과를 구하는 방법, 그리고 그 방법을 나타내는 변환으로 나타내는 과정까지 알아보았다. 이를 통해, 주어진 점을 대칭의 중심으로 점대칭하는 것을 넘어서, 임의의 도형을 점대칭하는 것까지 가능하다.