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지수함수/로그함수의 극한 (2) - e의 정의를 통해 구하기

e의 정의를 이용해서 지수함수와 로그함수의 극한을 어떻게 구할 수 있을까?

 sine곡선은 x=0 주변에서 y=x와 차이가 작다는 것에서, 두 함수의 비율에는 어떤 관계가 있는지 알아봄으로써 극한값을 구하였다. 지수함수와 로그함수도 이와 비슷한 원리로 구할 수 있지 않을까? 이를 위해서는 e의 정의를 이용하여 구할 수 있다.

<e의 정의>

 자연상수 e는

와 같이 정의된다. 위의 정의에 따라 구하면, e=2.71828...임이 알려져있다. 위의 식에서, x의 역수를 적용하면,

와 같이 구할 수 있다.

 x=0의 주위에서, y=sin(x)와 y=x의 값이 같다는 사실에서, 이들 함수의 극한값에 어떤 관계가 있는지 알아보았다. 이와 마찬가지로. x=0 주위에서, y=ln(1+x)와 y=x의 값 역시 x=0에서 같은데, 이들 함수의 극한값에도 어떤 관계가 있는지 알아보자.

<밑이 e인 경우>

 지수함수와 로그함수는 e의 정의를 적용하기 위해서, 밑이 e인 경우를 먼저 고려하자. 지수함수인 경우는

와 같이 구할 수 있다. 로그함수인 경우는 로 두면, 이 되어

와 같이 구할 수 있다.

<밑이 a인 경우>

 지수함수와 로그함수는 밑이 일반적인 a인 경우는 앞서 구한 것과 같은 원리로 구할 수 있다. 지수함수인 경우는

와 같이 구할 수 있다. 로그함수의 경우는 로 두면, 이 되어

와 같이 구할 수 있다.

 이와 같이, e의 정의를 이용해서 지수함수와 로그함수의 극한값을 구할 수 있다.

지수함수/로그함수의 극한 (1) - 기본적인 지수함수/로그함수

기본적인 지수함수와 로그함수의 극한을 어떻게 구할 수 있을까?

 지수함수와 로그함수는 정의역에서 연속함수이기 때문에, 지수함수와 로그함수의 극한은 그 함수의 그래프를 직접 관찰함으로써 구할 수 있다. 지수함수와 로그함수의 극한을 구하여 보자.

 지수함수의 그래프는 밑수 a의 값에 따라서, a>1인 경우와 0<a<1인 경우로 나누어서 그래프는

a∈[1,∞]인 경우a∈[0,1]인 경우

와 같이 나타난다. 이로 부터, a>1인 경우는

, 

와 같이 극한값을 구할 수 있다. 0<a<1인 경우는

, 

와 같이 극한값을 구할 수 있다.

 로그함수의 그래프는 밑수 a의 값에 따라서, a>1인 경우와 0<a<1인 경우로 나누어서 그래프는

a∈[1,∞]인 경우a∈[0,1]인 경우

와 같이 나타난다. 이로 부터, a>1인 경우는

, 

와 같이 극한값을 구할 수 있다. 0<a<1인 경우는

, 

와 같이 극한값을 구할 수 있다.

 이로써, 지수함수와 로그함수는 연속함수이기 때문에, 그래프를 통해서 극한값을 구할 수 있다.

삼각함수의 극한 (2) - 일반적인 삼각함수의 극한
일반적인 삼각함수의 극한을 어떻게 구할까?

삼각함수의 극한 (1) - sine함수의 극한

x=0 주위에서의 sine함수의 극한값은 어떤 양상일까?

 sine함수는 연속함수이기 때문에, 어떤 값에서의 sine함수의 극한값은 함숫값과 일치해서 무난하게 구할 수 있다. 다만, sine함수와 tangent함수, y=x함수를 x=0 주변에서 그려보면, 상당히 일치한다는 데에서, 이들 사이에 어떤 관계가 있지 않을까 하는 생각을 하게 된다. 과연 이들 함수는 x=0주변에서 어떤 관계가 있을까?

 다음과 같이, x=0에서 함수 y=sin(x), 함수 y=tan(x), 함수 y=x의 그래프를 같이 그리면, x=0에서 이들 값은 일치한다. 왼쪽 그림은 [-π/2,π/2]에서 함수의 그래프를, 오른쪽 그림은 [-π/8,π/8]에서의 그래프를 그린 것으로, 확대할수록 사실상 일치하는 그래프가 된다는 것을 알 수 있다.

[-π/2,π/2]에서의 그래프[-π/8,π/8]에서의 그래프

 이들 함수는 모두 원점을 지나기 때문에, x=0에서 함숫값은 일치한다. 함숫값만 일치하는 것이 아니라, x=0에 가까워지면 이들 극한값은 거의 같아져서, 같은 것으로 간주해도 될 정도가 되지 않을까 하는 생각이든다.

 위 추정은 다음과 같이 증명할 수 있다.

[1] 극한값 을 구하시오.

 (증명) 위 함수의 극한값은 삼각형과 부채꼴의 넓이 관계로 증명할 수 있다. 기하학적인 증명에서는 x>0인 경우부터 증명하는 것이 편하므로, 그 경우부터 다음과 같이 증명하자.

 위 그림에서 다음과 같은

넓이 관계가 성립한다. 위 넓이를 x와 r로 나타내고 정리하면,

와 같다. x>0에서, 이므로,

이고, 이에 역수를 취하면,

이 성립한다. 이면 이므로, 

와 같이, 극한값을 구할 수 있다. x가 0보다 큰 경우의 우극한값을 구하였다.

 x<0인 경우는

로 두고, 다음과 같이 정리하면, 

x<0인 경우도 성립함을 알 수 있다. x가 0보다 작은 경우의 좌극한값을 구하였다.

 우극한값과 좌극한값이 같으므로, 주어진 식의 극한값은 존재하고, 그 값은 1이다. □

 이로써, x=0 주변에서 sine함수와 y=x함수는 거의 일치한다는 것을 보였다. 이러한 관계는 삼각함수의 여러 극한값의 근간이 되는 중요한 관계식이다.

소수의 무한성

소수는 무한히 많다.

 소수(素數, prime number)는 몇 개나 있을까? 소수를 순서대로 나열하면, 소수의 출현하는 데에는 규칙성이 없을 뿐만 아니라, 그 간격도 상당히 커기 때문에, 얼핏 봐서는 소수는 유한 개밖에 없지 않을까하는 생각이 든다. 소수가 유한 개만 존재하는지, 아니면 무수히 많은지 알아보자.

 소수가 무수히 많은지 여부는 대표적인 귀류법의 증명 내용 중 하나이다. 귀류법으로 다음과 같이 증명할 수 있다.

[1] 소수가 무수히 많음을 증명하시오.

(증명) 귀류법에 의해 증명하기 위해, 소수가 작은 순서대로 와 같이 유한 개 존재하며, 가장 큰 소수 이 존재한다고 가정하자. 그런데 이들 소수를 모두 곱해서 1을 더한, 는 로 나누어 모두 나누어 떨어지지 않기 때문에, 약수를 1과 자기 자신만 가지는 수이므로, 소수이다. 보다 큰 소수 가 존재하기 때문에 주어진 가정은 모순이다.

 주어진 바를 부정하였을 때, 모순이 생기므로 귀류법에 의해, 소수는 무수히 많음이 증명되었다. □

 이와 같이, 소수가 무수히 많음을 알 수 있다.

[참고] 위 증명에서, 굳이 귀류법으로 증명을 해야 하는지에 대한 의문을 제기할 수 있다. 즉, 소수를 유한 개 존재한다는 가정이 필요한지에 대한 의문을 제기할 수 있다. 이 가정은 반드시 필요한데, 이는 이 소수라는 것을 규명하기 위해서는 그것보다 작은 소수를 제한해야 하기 때문이다. 이렇게 제한하지 않을 경우, 보다 크고 보다 작은 어떤 소수가 존재할 수 있는 가능성을 배제할 수 없기 때문이다. 이와 같은 가능성을 배제하지 않을 경우, 나타나는 반례가

이다. 종종 이 반례 자체가 귀류법 증명 자체의 반례로 오해하는 경우가 있지만, 귀류법의 가정이 올바르게 되었다면, 위와 같은 예가 있어도 주어진 바는 증명이 된다.

호도법의 활용 - 라디안의 값

호도법의 정의 circular measure, 라디안의 정의 radian

 호도법과 60분법 사이의 관계는 비례 관계를 통해 알 수 있다. 원주 전체의 길이를 호도법에서는 2π로 나타내고, 60분법에서는 360°으로 나타낸다는 사실로 부터, 다음과 같은 관계식

을 구할 수 있고, 이로 부터, 1rad은 60분법으로

와 같이 구할 수 있다. 

 호도법을 사용하는 이유가 무엇일까? 호도법의 장점을 단적으로 보여주는 다음과 같은 미분법 문제에서 단적으로 알 수 있다.

[1]  의 도함수를 구하시오.

(풀이) 1°를 호도법으로 나타내면, 와 같으므로 이다. 이를 통해서, 

와 같이, 합성함수의 미분법의 개념을 통해서 도함수를 구할 수 있다. □

 위 문제에서 알 수 있듯이, 임의로 정의한 60분법을 사용할 경우, 미분법을 하는 과정에서 호도법을 사용했다면 나타나지 않는 상수가 나타난다. 60분법과 달리, 호도법을 사용할 경우, 이러한 상수가 나타나지 않는다. 이로 부터, 호도법이 60분법보다 편리하다는 것을 알 수 있고, 이는 호도법을 사용하는 이유 중의 하나이다.

 이로써 호도법의 정의와 그 호도법의 단위인 라디안의 정의에 대해 알아보았다. 아울러, 라디안과 60분법사이의 관계, 라디안의 장점에 대해서 알아보았다.

점대칭의 정의 point symmetry

점대칭이란 무엇인가?

 어떤 것을 기준으로 대칭 이동하는 방법에는 선대칭, 점대칭 등이 있다. 그렇다면 어떤 기준을 중심으로 대칭이동하는 '점대칭'에 대하여 알아보자.

 점대칭이란 두 점(선분)이 한 점을 사이에 두고 같은 거리에 있는 경우를 말한다. 아울러, 점대칭 도형이란 도형을 한 점을 중심으로 180° 돌린 후에, 처음 도형과 완전히 겹쳐지는 도형을 말한다. 아래와 같이, 점 P와 점 Q는 점 A를 사이에 두고 같은 거리에 있으므로 점대칭이다. 점 P와 점 Q를 한 도형 F로 보고, F를 점 A를 중심으로 180° 돌려도, 처음 도형 F와 완전히 겹쳐지므로 점대칭 도형이라고 말할 수 있다.

 점대칭의 중심이란 점대칭을 하는 과정에서 기준이 되는 점이다. 일반적으로, 대칭 이동에서 중심은 점대칭에서만 생각할 수 있으므로, 점대칭의 중심을 간단하게 '대칭의 중심'이라고 말한다. 위의 그림에서 점 A가 대칭의 중심이 된다.

 어떤 점을 점대칭이동을 한 결과의 점을 구하는 것은 중요한 문제이다. 이를 테면, 위의 그림에서 점 P를 점 A를 대칭의 중심으로 하여, 대칭이동시켜서 구한 점 Q를 구하는 것이 그러한 문제 중의 하나이다. 그 방법은 다음과 같다.

 [1] 점 P(x, y)를 점 A(a,b)를 중심으로 점대칭이동시킨 점 Q의 좌표를 구하시오.

 (풀이) 점대칭의 정의로부터, 점 P와 점 A는 점 Q로부터 같은 거리에 있는 점이라는 것을 알 수 있다. 이로 부터, 점 A는 선분 PQ의 중점이라는 것을 알 수 있다. 구하고자 하는 점 Q의 좌표를 (x', y')라고 하면,

, 

 와 같은 관계가 성립한다는 것을 알 수 있다. 이를 정리하면,

 와 같이, 구하고자 하는 점 Q의 좌표를 구할 수 있다. □

 다음과 같은 변환을 생각하면,

이 일차변환은 주어진 도형을 점 A(a,b)를 대칭의 중심으로 하여 점대칭한 도형으로 옮기는 변환이 된다. 아래와 같이, (1,1)을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 원점을 대칭의 중심으로 하여 점대칭 이동시키면, (-1,-1)을 중심으로 하고 반지름이 1인 원이 된다.

 원의 방정식을 점대칭을 나타내는 변환에 의해 점대칭 이동시켜도, 위의 결과를 얻을 수 있다.

 이와 같이, 점대칭의 정의와 주어진 점을 대칭의 중심으로 점대칭한 결과를 구하는 방법, 그리고 그 방법을 나타내는 변환으로 나타내는 과정까지 알아보았다. 이를 통해, 주어진 점을 대칭의 중심으로 점대칭하는 것을 넘어서, 임의의 도형을 점대칭하는 것까지 가능하다.