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 미분과 적분인지 무엇인지 알아보았지만 막상 이들 사이에 얼마나 긴밀한 관계가 있는지는 알기 어렵다. 도함수를 구하는 미분은 결국 접선의 기울기를 구하는 것이고, 정적분의 값을 구하는 적분은 결국 넓이를 구하는 것인데 이들 사이에는 어떤 관계가 있는 것인지 이해하기 어렵다. 적분 안에서도 부정적분과 정적분의 경우 인테그랄을 쓴다는 것 이상으로는 공통점을 이해하기 어렵다. 이들 사이의 관계는 미적분학의 기본정리를 통해서 설명이 가능하다. 그렇다면 미적분학의 근간을 이루는 대표적인 기본 정리 2개가 각각 무엇이며, 그것이 왜 성립하는지 알아보자.

 미적분학의 기본 정리는 크게 '미적분의 기본정리'와 '정적분의 기본정리'라는 $2$개의 정리로 구성되어 있다. 미적분의 기본정리는 미분과 적분은 어떤 관계가 있는지 설명하는 것이고, 정적분의 기본정리는 부정적분의 차이를 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 설명하는 것이다.

 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 0이상일 때, 닫힌 구간 $[a, b]$에서 곡선 $y=f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이는

$ \begin{align*}  S(x) = \int_a^x f(t) dt \end{align*} $

$ \begin{align*}  \Delta S = S (x+ \Delta x) - S(x) \end{align*} $

$ \begin{align*}  m \Delta x \leq \Delta S \leq M \Delta x \end{align*} $

$ \begin{align*}  m \leq \frac{\Delta S}{\Delta x} \leq M  \end{align*} $

$ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} = \frac{\Delta S}{\Delta x} &= f(x) \end{align*} $

$S'(x) = f(x)$