미적분학의 기본정리(미적분의 기본정리, 정적분의 기본정리)

미적분학의 기본정리(미적분의 기본정리, 정적분의 기본정리)
미분과 적분, 부정적분과 정적분은 어떤 관계가 있을까?

 미분과 적분인지 무엇인지 알아보았지만 막상 이들 사이에 얼마나 긴밀한 관계가 있는지는 알기 어렵다. 도함수를 구하는 미분은 결국 접선의 기울기를 구하는 것이고, 정적분의 값을 구하는 적분은 결국 넓이를 구하는 것인데 이들 사이에는 어떤 관계가 있는 것인지 이해하기 어렵다. 적분 안에서도 부정적분과 정적분의 경우 인테그랄을 쓴다는 것 이상으로는 공통점을 이해하기 어렵다. 이들 사이의 관계는 미적분학의 기본정리를 통해서 설명이 가능하다. 그렇다면 미적분학의 근간을 이루는 대표적인 기본 정리 2개가 각각 무엇이며, 그것이 왜 성립하는지 알아보자.

 미적분학의 기본 정리는 크게 '미적분의 기본정리'와 '정적분의 기본정리'라는 $2$개의 정리로 구성되어 있다. 미적분의 기본정리는 미분과 적분은 어떤 관계가 있는지 설명하는 것이고, 정적분의 기본정리는 부정적분의 차이를 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 설명하는 것이다.

 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 0이상일 때, 닫힌 구간 $[a, b]$에서 곡선 $y=f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이는

 

$ \begin{align*}  S(x) = \int_a^x f(t) dt \end{align*} $

 

와 같이 나타낼 수 있다. 미적분의 기본정리는 함수 $S(x)$의 값을 무한급수의 방법으로 구하는 과정에서, 함수 $S(x)$의 도함수는 함수 $f(x)$가 아닐까라는 생각에서 시작된다. 직관적으로는 넓이를 '아주 작은 구간'에서의 변화는 결국 그 지점에서 함숫값이 된다는 것을 알 수 있다.

 이 사실은 증명하면 다음과 같다. 일반성을 잃지 않고, $x$의 변화량 $\Delta x$ 가 $0$보다 큰 경우를 생각해보자. 함수 $S(x)$의 변화량 $\Delta S$ 는

 

$ \begin{align*}  \Delta S = S (x+ \Delta x) - S(x) \end{align*} $

 

 가 된다. 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이므로, 최대, 최소 정리에 의해 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 가지게 된다. 그 최댓값과 최솟값에 의해 변화량 $\Delta S$는

 

$ \begin{align*}  m \Delta x \leq \Delta S \leq M \Delta x \end{align*} $

 

와 같은 범위 안에 있음을 알 수 있다. 양변을 변화량 $\Delta x$ 로 나눈다면

 

$ \begin{align*}  m \leq \frac{\Delta S}{\Delta x} \leq M  \end{align*} $

 

이 된다. 변화량 $\Delta x$ 가 $0$보다 작은 경우에도 똑같은 방식으로 위와 같은 결과가 나온다.

 여기서 변화량 $\Delta x$가 $0$에 한없이 가까워진다면, 함숫값 $f(x)$와 함숫값 $f(x+Δx)$가 사이의 차이가 없어지면서, 최댓값 $M$과 최솟값 $m$ 모두 함숫값 $f(x)$에 가까워진다. 극한값의 성질인 샌드위치 정리에 의해서,

 

$ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} = \frac{\Delta S}{\Delta x} &= f(x) \end{align*} $

 

가 성립함을 알 수 있다. 이는 도함수의 정의에 의해서,

 

$S'(x) = f(x)$

 

 가 성립한다는 것을 의미한다.

 넓이의 개념을 착안해서, 함수 $f(x)$가 해당 구간에서 $0$이상인 경우에 대해서 증명하였지만, 함수 $f(x)$의 부호에 상관 없이 일반적인 경우에도 성립한다.

 이와 같이, 미적분의 기본 정리를 통해서 미분과 적분 사이에 어떤 관계가 있는지 알 수 있다. 특히, 어떤 함수를 적분을 한 다음에 그것을 다시 미분하면 원래 함수가 된다는 것을 알 수 있다.

('정적분의 기본정리'는 추가 정리 예정)

 
[참고] 위키피디아 '미적분학의 기본정리'

[참고] 네이버 캐스트 '적분과 미분의 관계 - 미적분의 기본정리'