명제의 정의

명제의 정의 proposition

수학에서 '명제'란 무슨 뜻일까?

 세상에는 일상적인 언어나 수학적인 언어로 기술된 수없이 많은 '문장'이 존재한다. 그 많은 문장 중에서 어떤 한 문장이 참인지 거짓인지 판단하기 위해서는 판단하고자 하는 문장이 참인지 거짓인지 판단할 수 있다는 전제가 있어야 한다. 이와 같이, 참인지 거짓인지를 판단할 수 있는 문장을 별도로 규정하는 것은 의미가 있기 때문에, 수학에서는 '참인지 거짓인지 판단할 수 있는 문장'을 명제라고 한다. 명제는 일반적인 문장과 어떻게 구분되며, 어떤 경우에 명제가 참인지 거짓인지 판단할 수 있는지 알아보자.

 물론, '명제'는 일상적인 언어에서는 일반적으로 말하는 '문장'과 같은 의미로 사용이 되며, 논리학에서는 논리적 판단을 언어나 기호로 나타낸 것을 나타내기도 한다. 하지만 수학에서는 참과 거짓을 판단할 수 있는 경우에 국한해서 명제라고 지칭한다. 종종 수학에서는 '명제'라는 용어와 같이 그 용어가 일상적인 언어에 사용될 때에 비해서 좁은 범위를 지칭하는 경우가 있다.

 어떤 문장이 명제가 되기 위해서는 어떤 조건을 가져야 할까? 먼저, 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 내용이 포함되어야 한다. 가령, '1과 1을 더하시오.'와 같은 명령형 문장이나 '1과 1을 더했는가?'와 같은 의문형 문장과 같은 경우에는 일반적으로 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 내용이 없기 때문에 명제가 될 수 없다.

 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 내용이라고 하더라도, 그것을 판단할 수 있는 전제가 충분해야 한다. 우리는 보통 '자연수'와 그것의 사칙연산이 정의된 상황에서 '1+1=2'와 같은 명제를 다룬다. 그러한 상황에서는 '1+1=2'는 정의에 부합하기 때문에 참인 명제가 되고, '1+1=3'은 정의에 부합하지 않기 때문에 거짓인 명제가 된다. 하지만 만약 '자연수'와 그것의 사칙연산이 정의되지 않은 상황이라면 '1+1=2'는 판단할 수 있는 근거가 없으므로 명제가 될 수 없다.

 일상적인 상황에서 우리는 '아름다움'과 같은 단어에 대해서는 절대적인 정의를 하지 않는다. 그렇기 때문에 주어진 어떤 꽃 A에 대해서 '꽃 A는 아름답다.'라는 문장은 명제가 될 수 없다. 다만, 우리가 '아름다움'을 절대적인 기준에 의해 계량화할 수 있는 기계를 개발해서, 그 기계의 판단에 의해서 주어진 꽃의 아름다움을 판단 할 수 있다면, '꽃 A는 아름답다.'라는 문장 역시 명제가 될 수 있다. 한편, 어떤 집단에서 '아름다움을 결정하는 모임'이라는 모임을 만들어, 모든 아름다움의 기준을 그 모임의 결정에 따른다고 한다면, 그 경우에도 그 집단 안에서는 '꽃 A는 아름답다'라는 문장은 명제가 될 수 있다. 이와 같이, 일상적인 경우에는 명제가 될 수 없는 문장이라도, 그 문장을 판단하는 절대적인 기준을 만들거나, 한정된 범위에서만 따르는 기준을 만든다면 그 문장은 명제가 될 수 있다.

 이상으로 '명제'란 무엇이며, 어떤 경우에 명제가 될 수 있다는 것을 알았다. 특히, 주어진 문장이 참인지 거짓인지는 그 문장이 가진 사실 뿐만 아니라, 그 문장이 주어진 상황을 반드시 주시해야 한다는 것을 알 수 있다.