Uno Laboratory

결과, 사건, 표본공간 result, event, sample space

결과, 사건, 표본공간에 대해 알아보자

 우리는 흔히 '사건'이라는 말을 자주 사용한다. 수학에서도 '사건'이라는 용어를 사용하는데, 수학에서 말하는 사건은 일종의 집합 개념이다. 사건의 개념을 어떻게 집합으로 표현하는지 알아보자.

[참고] 시행의 정의

 <결과의 정의 / 사건의 정의>

 결과란 시행으로 인해 나타난 여러 가지 현상을 말하며, 사건이란 결과를 원소로 하는 집합을 말한다.

<사건이 일어나다>

 어떤 시행으로 나타난 결과 r로 인해서, 어떤 사건 E가 일어났다는 것은

가 성립하는 경우를 말한다. 반면, 어떤 사건 E가 일어나지 않았다는 것은

가 성립하는 경우를 말한다.

 <표본공간의 정의>

 표본공간이란 어떤 시행으로 나타날 수 있는 결과를 모두 포함하고 있는 집합을 말한다. 표본공간의 정의와 사건의 정의로부터, 사건을 표본공간의 부분집합으로 보아도 무방하다는 것을 알 수 있다.

 예컨대, '주사위를 던지다'는 시행이 있다고 하자. 그 시행에서 '눈금으로 i가 나오는 결과'를

와 같이 표현한다고 하자. 주어진 시행에서는 6가지 결과가 나타날 수 있고, 이들 결과를 원소로 하는 집합은 가지 존재할 수 있다는 것을 알 수 있다. 그 사건 중에서  를 '홀수가 나오는 사건', 를 '소수가 나오는 사건' 등 과 같이 의미를 부여할 수 있다.

 주어진 시행에서 결과

가 나타났다고 하자. 이 결과는

, 

이므로, '홀수가 나오는 사건'은 일어났지만, '수수가 나오는 사건'은 일어나지 않았음을 알 수 있다.

 주어진 시행에서 표본공간이란 나타날 수 있는 결과를 모두 포함하는 집합이므로,

와 같다. 정의로부터, 주어진 시행에서 나타나는 모든 사건은 표본공간의 부분집합임을 알 수 있다.

 이로써 어떤 시행으로부터 나타나는 결과, 사건과 표본공간의 정의에 대해 알아보고, 실제 사례를 통해 알아보았다.

[유의 사항] 위 포스트는 일반적으로 시행의 사건이나 표본공간을 정의하는 방식과 차이가 있고, 그 사항과 그와 방식으로 기술한 이유는 다음과 같다.

 1. 일반적으로 '시행의 결과' 대신 '근원사건'의 개념을 활용한다. 여기서, 근원집합이란 원소가 하나인 사건을 말하는 것인데, 그와 같이 정의하면 진작 사건이라는 집합의 원소에 대한 정의가 이루어지지 않기 때문에, '근원사건' 대신 '시행의 결과'의 개념으로 설명했다.

 1. 일반적으로 사건을 표본공간의 부분집합으로 정의한다. 여기서는 '시행의 결과'를 통해 사건과 표본공간을 정의한 이후에, 사건과 표본공간 사이의 관계를 일종의 기본 성질과 같은 방식으로 설명했다.

페르마의 정리 Fermat's Theorem
페르마의 정리란 무엇인가?

 어떤 함수가 극값을 가질 때에 어떤 성질을 가질까? 극값에서 접선을 그으면 가로축과 평행한 접선이 나타나는데, 이로 부터 극값의 미분계수는 0이 아닐까하는 생각이든다. 이러한 추측을 수학적으로 증명한 것이 페르마의 정리이다. 그렇다면 페르마의 정리에 대해 알아보자.

 

 페르마의 정리란 x에 관한 함수 가 x=c에서 극값을 가지고, 가 존재하면,

 

 

이 성립한다는 정리이다. 이 정리을 통해서, 어떤 구간에서 극값을 찾는 경우에는 이거나, 그 값이 존재하지 않는 지점만 확인하면 된다는 사실을 알 수 있다.

 

 [1] 페르마의 정리가 성립함을 증명하시오,

 

 (증명) x에 관한 함수 가 x=c에서 극댓값을 가지는 경우부터 증명하자.

 

 극댓값의 정의에 의해, 인 x가 c가까이에 존재한다. 이는 다시 말해서, 0에 아주 가까운 실수 h가 존재하여,

 

 

 

이 성립하도록 할 수 있다는 것이다.

 

 h>0인 경우, 양변을 h로 나누면,

 

 

이다. 우극한을 잡으면,

 

 

이다. 가 존재하므로,

 

 

이 성립한다.

 

 h<0인 경우, 같은 원리로 이다. 이고, 이므로 이 성립함으로, 증명하고자 하는 바가 증명되었다.

 

 함수 가 x=c에서 극솟값을 가지는 경우도 같은 원리로 증명할 수 있다. □

 

 이로써 페르마의 정리의 내용, 활용 방안과 증명 방법에 대해 알아보았다. (참고로, 페르마가 제시한 다른 정리와 구분하기 위해, 이 정리를 '페르마의 임계값 정리'라고도 한다.)

최댓값/최솟값, 극댓값/극솟값(극값)
최댓값/최솟값과 극댓값/극솟값(극값)의 정의에 대해 알아보자

급수 판정법 (4) - 거듭제곱근 판정법 (멱근 판정법)

일반항의 거듭제곱근을 통해 급수의 수렴 여부를 어떻게 알 수 있을까?

 직관적으로 어떤 급수의 거듭제곱근이 1보다 작다면 그 급수는 수렴할 것이고, 반대로 거듭제곱근이 1보다 크면 그 급수는 발산한다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 이러한 직관적인 사실을 수학적으로 어떻게 표현하는지 알아보자.

 거듭제곱근 판정법(멱근 판정법)이란 음이 아닌 실수로 이루어진 급수 에서, 극한값

이 존재한다면,   는

 (1) r<1인 경우는 수렴한다.

 (2) r>1인 경우는 발산한다.

와 같은 성질을 가진다는 것이다. 이러한 성질을 이용해서, 일반항의 거듭제곱근을 이용해서 주어진 급수의 수렴 여부를 알 수 있다.

[1] 거듭제곱근 판정법을 증명하시오.

 (증명) (1)을 먼저 증명하자. 실수 를   이 되도록 잡자.  이므로 n이 커질수록  은 실수 r에 가까워지고,

m<n인 ∀n에 대해서,  ()

와 같은 자연수 m이 존재한다. 주어진 급수는

와 같이 정리할 수 있어서, 수렴함을 알 수 있다.

 (2)의 경우를 증명하자. 실수 를  이 되도록 잡자. 이므로 n이 커질수록  은 실수 r에 가까워지고,

m<n인 ∀n에 대해서,  ()

와 같은 자연수 m이 존재한다. 주어진 급수는

와 같이 정리할 수 있어서, 발산함을 알 수 있다. (여기서, 이 1보다 크므로, 일반항 판정법에 의해 발산함을 알 수 있다.)

 이와 같이, 일반항의 거듭제곱근의 크기가 1보다 큰지에 따른 급수의 수렴 여부에 대해 알아보았다. □

 이로써 거듭제곱근 판정법의 정의와 그것에 대한 증명 방법을 알아보았다.

급수 판정법 (3) - 비율 판정법

일반항의 두 항 사이의 비를 통해 급수의 수렴 여부를 어떻게 알 수 있을까?

 직관적으로 어떤 급수의 수열이 꾸준히 어떤 비율로 작아지면 수렴하고, 어떤 비율로 커지면 발산한다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 이러한 직관적인 사실을 수학적으로 어떻게 표현하는지 알아보자.

 비율 판정법이란 일반항이 양의 실수인 수열   과 0<r<1이 주어졌을 때,

(1) ∀n에 대해서,  인 경우,   는 수렴한다.

(2) ∀n에 대해서,   인 경우,   는 발산한다.

가 성립한다는 것이다. 이러한 성질을 이용해서, 일반항의 두 항 사이의 비율을 통해서 주어진 급수의 수렴 여부를 알 수 있다.

 [참고] 위에서 별도의 시작조건과 종료조건이 없는 시그마가 나오는데, 그것은 이다.

[1] 비율 판정법을 증명하시오.

(증명) (1)을 먼저 증명하자. 0<r<1이므로,

와 같은 대소관계가 성립한다. 여기서 와 같은 대소관계가 성립하는데, 주어진 급수보다 큰 급수가

와 같이 수렴한다. 이와 같이, (1)의 경우는   가 수렴함을 알 수 있다.

(2)의 경우에는

와 같은 대소관계가 성립한다. 여기서,   이므로 일반항 판정법에 의해, (2)의 경우는 가 발산함을 알 수 있다.

 이와 같이, 일반항의 두 항 사이의 비율에 따라서 급수의 수렴 여부에 대해 알아보았다. □

 이로써 비율 판정법의 정의와 그것에 대한 증명 방법을 알아보았다.

급수 판정법 (2) - 비교 판정법
일반항의 대소관계를 통해 급수의 수렴 여부를 어떻게 알 수 있을까?

함수의 극한

함수의 극한이란 무엇인가?

자연상수 e의 성질 (2) - e는 무리수

e는 무리수인가?

 자연상수 e는 π와 더불어 대표적인 무리수로 알려져있다. 그렇다면 왜 자연상수 e가 무리수인지 알아보자.

 자연상수 e가 무리수인지는 귀류법을 이용해서 증명할 수 있다.

[1] 자연상수 e가 무리수임을 증명하시오.

 (증명) 귀류법에 의해 증명하기 위해, 가 유리수라고 가정하자. 유리수의 정의에 의해, 어떤 자연수 p에 대하여, 자연상수 e와 자연수 p의 곱이 자연수가 된다. 그러한 p에 대하여,

와 같은 식을 구할 수 있다. 등식의 성질에 의해, 위 식의 (*1) 부분 역시 자연수가 되어야 한다. (*1) 부분은

와 같이 정리할 수 있다. 여기서 p는 자연수이므로 (1/p)는 1보다 작은 수인데, 자연수가 1보다 작다는 결론이 나왔으므로 모순이다. 자연상수 e가 유리수라고 가정했을 때, 모순되는 사실이 도출되므로, 자연상수 e는 무리수이다. □

 이로써, 자연상수 e가 무리수임을 증명하였다.