Uno Laboratory

호도법에서 활용되는 라디안의 값은 어떤 양상을 띨까?

 60분법을 사용할 때, 각을 측정할 때 각도기를 사용함으로써 손쉽게 측정하였다. 호도법에서는 원의 둘레를 이용해서, 각의 크기를 측정한다고 하였는데, 라디안 값이 어떤 양상을 띠는지는 다소 모호하다. 라디안의 값을 원의 둘레를 이용해서 어떤 양상을 띠는지 관찰해보자.

[참고] 호도법의 정의, 라디안의 정의

 1라디안의 크기는 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 끼인각으로 정의하였다. 여기서 호가 단위원의 일부라면, r=1이 되어서 호의 길이와 중심각의 관계를 나타내는 식 에서 끼인각의 크기와 호의 반지름이 일치한다는 것을 알 수 있다. 이로 부터, 라디안 값을 호의 길이를 통해 시각화할 수 있다.

 호의 길이가 예각인 경우의 대표적인 특수각인 π/6(30°), π/4(45°), π/3(60°)은 다음과 같이 나타난다.

π/6인 경우 π/4인 경우 π/3인 경우

 호의 길이가 직각인 경우와 평각인 경우는 다음과 같이 나타난다. 여기서, 직각인 경우는 원주(2π)의 1/4이고, 평각인 경우는 원주의 1/2인 점을 고려하면, 각각 π/2이고, π인 경우라는 점을 알 수 있다.

직각인 경우 평각인 경우

 호의 길이가 다음과 같이 원주(2π)인 경우, 다음과 같이 나타난다. 이는 60분법에서 360°인 경우와 일치하는 경우이다.

2π인 경우

 그렇다면, 이보다 큰 값인 경우는 어떻게 표현할까? 이를 테면, 3π인 경우는 2π에서 π만큼, 더 진행한 경우로, 결과적으로는 아래 그림과 같이, π만큼 간 것과 같다. 즉, 2π보다 큰 경우에는 2nπ+Θ의 형태로 나타내어, Θ의 값으로 각을 나타내면 된다.

3π인 경우

 이로써, 라디안의 값은 단위원의 일부를 통해서, 각의 크기를 호의 길이로 형상화시킴으로써 이해할 수 있다. 예각인 특수각, 직각, 평각의 경우를 관찰해 보고, 2π보다 큰 경우에는 어떻게 나타내는지도 알아보았다.

호도법이란 무엇이며, 호도법에서 사용되는 라디안이란 무엇인가?

 우리는 흔히 각을 다루는 데에 있어서, 60분법을 사용한다. 60분법은 원주를 360등분한 것의 하나를 1°도로 정한 것이다. 하지만 60분법은 그 수치를 직관적으로 이해하기 좋다는 장점은 임의로 지정한 단위라는 단점이 존재한다. 이와 대조적으로, 1rad을 기반으로 하는 호도법은 원의 반지름과 호의 길이를 기반으로 정의한 것이라는 점에서 그러한 단점을 극복하였다. 호도법과 호도법에 사용되는 라디안의 개념에 대해 알아보자.

 호도법은 각의 크기(度, 각의 크기)를 원의 둘레(弧, 호=원의 둘레의 일부)를 따라 측정하는 방법을 말하고, 호도법은 단위로 라디안(radian, rad)을 사용한다.

 [참고] 호의 정의, 현의 정의

 1라디안은 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 끼인각의 크기를 말한다. 

(풀이) 주어진 조건을 만족하는 수를 N이라고 하자. N은 2진법으로 표현하면 마지막 세 자리가 011이므로, N=8a+3(a는 자연수)와 같이 나타낼 수 있다. 또, 5진법으로 표현하면 마지막 세 자리가 101이므로, N=125b+26(b는 자연수)와 같이 나타낼 수 있다. 위 두 조건을 만족시키는 (a, b) 순서쌍 중에서 a의 값이 가장 작은 경우는 (a, b)=(216, 5)인 경우로, N=651이다.

 N이 651보다 큰 경우에도 모두 N=1000k+651(k는 자연수)가 되어, 10진법으로 나타내는 경우 마지막 세 자리가 항상 651이 된다. 이는 N=8a+3과 N=125b+26을 동시에 만족시키기 위해서는, N이 8과 125의 최소공배수인 1000만큼 커져야 하기 때문이다. □

[정답] 651

 (풀이) 주어진 다항식의 4차식의 계수가 1이므로, 계수비교법에 의해, 두 개의 정수 계수 이차다항식의 2차식의 계수가 1임을 알 수 있다. 같은 원리로, 주어진 다항식의 3차식의 계수가 0이므로, 두 개의 정수 계수 이차다항식의 1차식의 계수는 절댓값이 같고 부호가 다름을 알 수 있다. 이를 수식으로 정리하면,

와 같다. 위 식은 항등식이므로, 계수비교법에 의해, 와 를 만족한다. 이를 연립하여 풀면,

와 같다. 이로 부터, 로 가능한 순서쌍은 (1,81), (9,9), (81,1)가 있다. 각각의 경우에 n이 존재하므로, n은 3개 존재한다. □

[정답] 3

 경우의 수를 구하는 방법에는 다양한 방법이 있지만, 그 중에서 대표적인 방법은 조합과 순열의 개념을 이용하는 방법이다. 조합과 순열은 n개 중에서 r개를 선택하고, 적절하게 배열하는 방법을 간단한 수식으로 해결할 수 있는 방법을 제시한다. 조합과 순열에 대한 개념에 대해 알아보자.

 조합과 순열의 구체적인 정의에 들어가기에 앞서서, 조합과 순열의 관계에 대한 이해와 이와 관련된 개념을 어떻게 이애하면 좋은 지에 대해서 알아보자. 여기서는 간단하게 조합을 n개의 서로 다른 것에서 r개를 선택하는 방법의 수로, 순열을 n개의 서로 다른 것에서 r개로 배열하는 방법의 수로 정의하자.

 일반적으로 조합과 순열의 개념을 배울 때에, 순열 개념을 배우고 조합 개념을 배운다. 이것은 연산법에 있어서 순열이 조합에 비해서 간단하기 때문이다. 연산법이 간단한 것에서, 조합을 순열의 특수한 경우로 볼 수 있지 않을까라는 생각을 할 수 있는데, 구체적으로 순열에서 배열한 r개를 모두 같은 것으로 간주하면, 조합을 '같은 것이 있는 순열'의 일종으로 볼 수 있다. 수식으로 이 사실은

와 같이 표현할 수 있다.

 문제 풀이의 양상으로 본다면, 조합을 하고 순열을 하는 것이 적절하다. 즉, n개에서 r개를 일단 선택(조합)을 하고, 그것을 다시 배열(순열)을 하는 절차로 보는 것이다. 수식으로

와 같이 표현할 수 있다. 이와 같이, 순열은 조합을 전제한 생각으로 본다면, 문제 풀이를 할 때에는 일단 '선택'을 하고 그것을 '배열'한다고 생각하는 것이 보다 원활한 생각이 될 수 있다.

 조합과 순열과 관련된 개념은 비단 조합이나 순열 자체에 대한 개념뿐만 아니라, 그와 관련된 '원순열, 같은 것이 있는 순열, 중복순열, 중복조합' 등의 개념도 알아야 한다. 이러한 개념은 조합이나 순열 자체에서 전제된 다음과 같은 조건

 (가) n개의 서로 다른 것에서 뽑는다.

 (나) r개를 뽑는 과정에서 서로 다른 것을 뽑는다.

 을 확장한 경우에 해당한다. '원순열, 같은 것이 있는 순열'의 경우는 (가)의 조건을 '중복순열, 중복조합'의 경우는 (나)의 조건을 각각 확장한 경우이다.

 조합과 순열에 대한 구체적인 정의에 들어가기에 앞서, 두 개념의 관계와 이와 관련된 여러 개념을 알아보았다.

케일리-해밀턴의 정리란 무엇일까?

 일반적으로 높은 차수의 행렬을 낮은 차수의 행렬로 만들거나, 주어진 조건에 만족하는 행렬이 존재하는지, 존재한다면 어떤 행렬이 존재하는지를 알아볼 때, 케일리-해밀턴의 정리가 이용된다. 이런 측면에서, 이차 정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴의 정리는 요긴하게 사용되지만, 그 역이 성립하지 않는다는 사실을 유념하지 않는다면, 오히려 알아보고자 하는 행렬에 대해 오해를 할 수 있다. 그렇다면 케일리-해민턴의 정리에 대해 알아보자.

 이차정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴의 정리란 다음과 같은 임의의 이차 정사각행렬

에 대해서, 다음과 같은 행렬 A에 대한 식

이 성립한다는 정리이다.

 이에 대한 증명은 다음과 같이 할 수 있다. 

 [1] 케일리-해밀턴의 정리를 증명하시오.

 (증명) 증명하고자 하는 식의 각 항은

, , 

와 같이 표현할 수 있다. 이 사실을 주어진 식에 넣어 다음과 같이 정리하면,

이 성립하여 증명하고자 하는 케일리-해밀턴의 정리가 증명이 된다. □

 케일리-해밀턴의 정리는 역이 성립하지 않는다. 케일리-해밀턴의 정리의 역은 어떤 이차 정사각행렬

에 대해서, 다음과 같은 행렬 A에 대한 식 (가)

을 성립한다고 해서, 다음의 값

, 

이 식 (가)의 A항의 계수와 단위행렬의 계수와 반드시 일치하는 것은 아니라는 것이다.

 이 역이 성립하지 않는다는 것은 식 (가)를 만족하는 행렬 A가 

,  

와 같이, 두 가지 형태가 가능하다는 것이다. 즉, 당초 예상했던 행렬뿐만 아니라, 단위행렬 E의 실수배의 형태도 나타날 수 있다는 것이다.

 그렇다면 행렬 A에 대한 식 (가)를 만족하는 행렬은 위 두 형태뿐이라는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다.

[2]  다음과 같은 식

을 만족하는 행렬의 형태를 모두 구하시오.

 (풀이) (가) 식의 각 계수를 어떤 실수 p, q로 둔다면,

, 

와 같이 둘 수 있다. 이 식으로 (가) 식을 표현하면,

와 같다. 구하고자 하는 A는 주어진 p와 q에 대해서 만족하는 (a, b, c, d)의 순서쌍에 의해 결정되고, 다음과 같이 두 가지 경우가 있다.

 (1) p=-(a+d), q=(ad-bc)인 경우이다. 이 때에는

와 같이, 케일리-해밀턴의 정리에서 예상할 수 있는 결과가 나타난다.

 (2) b=c=0, a=d인 경우이다. 이 때에는

와 같이, 단위행렬의 실수배의 형태의 결과가 나타난다. 이 때, a는 

을 만족한다.

 이와 같이, 주어진 식을 만족하는 행렬의 형태를 모두 구하였다. □

 그렇다면 이차정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴의 정리는 이차정사각행렬을 이해하는 데에 요긴하게 쓰일 수 있다. 케일리-해밀턴의 정리를 이차정사각행렬의 성질을 이해하는 데에 어떤 방식으로 활용되는지 알아보자. (다음에 언급되는 행렬은 모두 이차정사각행렬이다.)

 임의의 행렬 A에 대해서

이 성립한다는 사실이다. 이것은 케일리-해밀턴의 정리의 그 자체로, 주어진 행렬 A를 포함하는 식을 만들 수 있다는 것을 의미한다.

 A의 높은 차수의 형태를 포함하는 식에서, 높은 차수의 A의 차수를 낮출 수 있다. 이것은 케일리-해밀턴의 정리로부터

이 성립한다는 것으로부터 알 수 있기 때문이다. 한편, 이 사실은 아무리 높은 차수의 행렬이라도, 차수가 1인 형태로 산술적으로는 고칠 수 있다는 것을 의미한다.

 한 종류의 이차정사각행렬로 이루어져 있으며, 그 이차정사각행렬의 최고 차수가 2인 경우, 그 식을 만족하는 이차정사각행렬을 무수히 만들 수 있다. 이것은 케일리-해밀턴의 정리를 반대로 이용한 것이다. 즉, 다음과 같은 식

을 성립하는 행렬 A는 무수히 많다는 것이다.

 다만, 케일리-해밀턴의 정리를 반대로 적용한 것이기 때문에 케일리-해밀턴의 정리로 예상할 수 있는 형태와 단위 행렬의 실수배의 형태가 모두 나타날 수 있다는 사실을 염두해 두어야 한다. 또, 성립하는 행렬 A가 무수히 많다는 것은, 행렬 A의 성분의 수의 범위가 '복소수 범위 이상'이라는 전제가 있을 때 성립한다. 즉, '실수 범위 이내'에서는 성립하는 행렬 A의 수가 한정이 되거나, 심지어 존재하지 않을 수 있다.

 특히, 단위 행렬의 실수배의 형태의 경우는 다음과 같이 a에 관한 식

을 만족하는 경우이다. 그렇기 때문에, 위 식이 a에 관한 실근을 가지지 않는다면, '실수 범위 이내'에서는 성립하는 '단위 행렬의 실수배'의 형태가 존재하지 않는다.

 이와 같이, 케일리-해밀턴의 정리를 이용해서 주어진 식을 만족하는 행렬을 찾는 것은 이차정사각행렬을 이해하는 데에 도움이 된다. 주어진 식을 만족하는 행렬의 존재성을 알려줄 뿐만 아니라, 그에 대한 구체적인 반례도 제시해주기 때문이다. 특히, 수의 범위에 따른 존재성을 명확하게 이해한다면, 케일리-해밀턴 정리를 보다 요긴하게 활용할 수 있다. 예컨대, 행렬의 성분이 실수 범위로 한정이 된다면, 주어진 조건을 만족하는 행렬이 존재하지 않는다는 것을 보일 때, 이 원리를 이용할 수 있다.

 케일리-해밀턴 정리의 식에서 단위행렬 E의 계수가 행렬식(determinant)라는 점에서 이끌어 낼 수 있는 성질이 있다. 먼저, 행렬 A가 단위행렬의 실수배의 형태가 아니며,

와 같은 형태로 정리가 된다면, 행렬 A는 역행렬을 가지지 않는다. 이 명제는 케일리-해밀턴의 정리에서 단위행렬 E의 계수가 0이라는 사실로부터도 알 수 있으며, 귀류법으로도 다음과 같이 설명이 가능하다.

 [3] 단위행렬의 실수배의 형태가 아닌 어떤 행렬 A가

를 만족하면, 행렬 A는 역행렬을 가지지 않는다.

 (증명) 귀류법에 의해 증명하자. 행렬 A가 역행렬을 가진다고 가정하면, A+kE=O가 되어서, A가 단위행렬의 실수배의 형태가 되어서 모순이 된다. 그러므로 행렬 A는 역행렬을 가지지 않는다. □

 한편, 어떤 행렬 A가 역행렬을 가지지 않는다면,

와 같이 정리할 수 있다. 이는 케일리-해밀턴의 정리를 직접 적용한 경우이다.

 이로써, 케일리-해밀턴의 정리가 무엇이며, 어떻게 증명할 수 있는지 알아보았다. 특히, 그 역이 성립하지 않는 이유에 대해서도 알아보았다. 케일리-해밀턴의 정리 그 자체와 그것을 증명하는 과정에서 이끌어낼 수 있는 여러 가지 성질을 통해, 케일리-해밀턴의 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해서도 알아보았다.