자연수와 실수의 Cardinality
실수는 왜 자연수보다 많을까?
어릴 적, '자연수는 몇 개일까?'라는 의문을 가지고 노트에 1부터 차례대로 수를 적은 적이 있다. 1부터 시작하여 1000 정도 적은 다음에 더 이상 숫자를 쓰는 것이 그다지 의미가 없어 보여서, 제 풀에 지쳐서 그만 쓴 적이 있다. 그런 경험을 통해서 숫자는 상당히 많다는 생각이 들었다. 그렇다면 '상당히 많은' 자연수의 개수나 실수의 개수를 어떻게 비교할 수가 있을까?
자연수의 개수나 실수의 개수를 비교하기에 앞서, 그 개수가 상당히 많다는 사실부터 알아볼 필요가 있다. 사실 이 질문은 어린 아이가 '가장 큰 숫자가 무엇인가요?'라든지, '숫자는 몇 개나 있어요?'라는 질문을 할 때 어떻게 답변할지를 떠올리면 쉽게 해결할 수 있는 문제이다.
[1] 자연수의 개수가 무수히 많음을 증명하시오.
(증명) 귀류법에 의해 증명하자. 자연수의 개수가 유한하다고 가정하자. 그렇다면 자연수는 정렬할 수 있기 때문에, 그 중 가장 큰 자연수 N이 존재할 것이다. N이 존재한다면 (N+1)를 상정할 수 있는데, (N+1)이 존재한다는 것은 가정으로 부터 이끌어 낸 '가장 큰 자연수 N'이라는 사실에 위배된다. 그렇기 때문에 자연수의 개수가 유한하다는 가정은 모순이다. 이로써, 자연수의 개수가 무수히 많음이 증명이 되었다. □
자연수의 개수가 많다는 증명을 통해서, 이와 같은 방식으로 정수, 유리수, 실수도 무수히 많다는 사실을 증명할 수 있다. 그렇다면 자연수나 실수가 무수히 많다면, 이들 사이의 개수를 어떻게 비교할 수 있을까? 이와 관련해서 다음과 같은 이야기를 살펴보면서 생각해보자.
A : 친구야. 내가 어젯밤에 어떤 세상의 주택공사의 공무원이 되는 꿈을 꾸었어. 그런데 꿈 속에서 나는 상당히 많은 수의 사람들을, 상당히 많은 수의 집에 배정하는 상황이 주어졌단 말이지.
B : 그래? 이 세상에서는 일을 잘 못하는데, 꿈 속에서는 잘 해결했니?
A : 음 ... 정말 악몽 같았어. 집의 주소가 정수로 구성이 되어 있었고, 사람들의 주민번호가 실수로 구성이 되어 있었지. 꿈 속에서 사람들에게 물어보니, 같은 주소를 가지는 집이나 같은 주민번호를 가지는 사람은 없다는 거야. 그래서 거기서 착안해서 가장 작은 사람부터 차례로 주소의 숫자가 작은 집에 배정을 했어. 그런데 집이 모자란다는 거야. 서로 중복되지도 않았는데. 제대로 배정받지 못한 사람들이 내가 다니는 주택공사 앞에서 시위를 하는데, 정말 그런 악몽은 따로 없었지.
B : 에이. 그렇다면 애초에 집이 사람의 수보다 적었기 때문이겠지.
A : 아, 그런가? 그래도 집도 사람도 무수히 많아 보였는데.
위 이야기에서 알 수 있듯이, 아무리 집이 무수히 많다고 하더라도, 사람이 훨씬 더 많을 수 있다. 그런데 '훨씬 더'라는 것을 어떻게 알 수 있을까? 위 사례에서 알 수 있듯이, A와 B가 어느 쪽이 많은지 비교하고 싶다면, A의 각 요소를 B의 각 요소로 대응해보는 시도를 해보는 것이다. 만약 서로 대응할 수 있다면 두 대상은 같은 개수 만큼 존재한다는 것이다. 만약 대응하지 못한다면, 둘 중 하나가 더 많고, 나머지 하나가 더 적다는 것을 의미한다.
그렇다면 자연수와 실수가 어느 쪽이 많은지는 어떻게 비교할 수 있을까? 앞서 살펴본 이야기와 같이, 짝을 지어본다면 쉽게 해결할 수 있다.
[2] 자연수와 실수의 개수를 비교하시오.
(증명) 귀류법에 의해 증명하자. 자연수와 실수가 같은 개수만큼 있다면, 모든 자연수를 나열하기에 충분히 큰 종이에 모든 자연수를 나열하고, 그 옆에 모든 실수를 나열할 수 있을 것이다. 그러한 종이에 다음과 같이 자연수와 실수를 모두 나열할 수 있다고 가정하자.
1 : 0.4142135623730950488016887242097
2 : 0.7320508075688772935274463415059
3 : 0.2360679774997896964091736687313
4 : 0.7182818284590452353602874713527
5 : 0.1415926535897932384626433832795
:
위와 같이, 나열한 상황에서 다음과 같은 성질을 가지는 실수를 생각해보자.
새로 만들어진 실수는 '소숫점 아래 n번째 자리 숫자'가 'n번째 실수의 소숫점 아래 n번째 자리 숫자'와 다르다.
이를 테면, 앞서 제시한 예에 적용해서 나오는 실수는 다음과 같다.
1 : 0.4142135623730950488016887242097
2 : 0.7320508075688772935274463415059
3 : 0.2360679774997896964091736687313
4 : 0.7182818284590452353602874713527
5 : 0.1415926535897932384626433832795
* : 0.54730**************************
:
새로 만들어진 실수의 '소숫점 아래 1번째 자리 숫자'가 '1번째 실수의 소숫점 아래 1번째 자리 숫자'인 4와 다르게 하기 위해 5가 되었고, '소숫점 아래 2번째 자리 숫자'가 '2번째 실수와 소숫점 아래 2번째 자리 숫자'인 3과 다르게 하기 위해 4로 설정하였다. 같은 방식으로 '소숫점 아래 k번째 자리 숫자'가 'k번째 실수의 소숫점 아래 k번째 숫자'와 다르게 하였다. (위 표에서 '*'가 새로 설정한 실수이다.) 이 실수는 위의 표에 나오는 모든 숫자와 소숫점 아래 숫자 중 적어도 하나 다르므로, 위의 목록에 있는 어떤 수와 다른 수이다.
그렇다면 기존의 표에 있던 수가 아닌 새로운 수가 있다는 사실은 모든 자연수를 나열하고, 그 옆에 모든 실수를 나열할 수 있다는 가정에 모순이 된다. 즉, 자연수와 실수를 대응하려는 시도를 하면, 대응할 수 없다는 결론을 얻을 수 있다. 또, 대응할 수 없는 이유가 자연수에 실수를 대응할 수 없는 것이므로 자연수보다 실수가 많다는 사실이 증명이 된다. □
자연수의 개수가 실수가 많다는 사실이 증명이 되었다. 이로써, 수가 무수히 많다는 사실, 무수히 많은 것의 개수를 비교할 수 있는 방법, 자연수보다 실수가 많다는 사실을 알 수 있다.
