[증명] 이상적분 (1) - 적분구간이 무한히 긴 경우

[증명] 이상적분 (1) - 적분구간이 무한히 긴 경우

 * [증명] 포스트는 '내용 정리'의 내용 중에서 추가적인 설명이 필요한 경우에 올리는 포스트입니다. 증명과 관련된 포스트는 다음과 같습니다.

[01] 이상적분 (1) - 적분구간이 무한히 긴 경우

[02] 조화급수의 정의와 발산

 1/x꼴의 거듭제곱을 한없이 더하면 어떤 결과가 나올까? 조화급수가 발산한다는 것을 통해서, 일반항이 1/x의 거듭제곱의 형태가 항상 수렴하지 않는다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 어떤 경우에 수렴하고 발산하는지 알아보자.

 [1] p의 값에 따라 다음

의 수렴 여부에 대해 알아보시오.

 (증명) p=1인 경우는

와 같이 발산함을 알 수 있다.

 그 이외의 경우는 주어진 식을

와 같이 변형하자. 이를 바탕으로, 수렴 여부를

 (1) p>1인 경우는 p-1>0이므로, 는 로, 이므로,

와 같이, 수렴한다.

 (2) p<1인 경우는 p-1<0이므로,이면 이므로, 발산한다.

와 같이 확인할 수 있다. 즉, p≥1인 경우는 발산하고, 그 외의 경우는 수렴한다.